Dubbi disequazioni logaritmiche

[Sici]

Buonasera a tutti,

Sto seguendo il magnifico Precorso del prof Gobbino (Grazie prof!) e ho alcune incertezze sulle risoluzioni di due esercizi.

Sono i seguenti:

1) Esercizio n° 11 (contando dall'alto) della scheda Disequazioni 6, cioè:

\(\sqrt{\log_4 x}<2\)

Nella soluzione della scheda l'intervallo è: ]1,256[ , ma a me viene: [1,256[ , io trovo che il valore X=1 esiste. Dove sbaglio?

2) Esercizio n° 16 (cioè l'ultimo) della scheda Disequazioni 6, cioè:

\(\log_x 2\geq 1\)

Non riesco a capire una cosa di questo esercizio, ovvero:

Il campo di esistenza della base del mio log, è x>0 e X diverso da 1, giusto?

Però se considero l'intervallo di esistenza ]0,11,+∞[ , non arrivo alla soluzione data , cioè: ]1,2]

Quindi ho capito che per arrivare a quella soluzione, devo porre il campo di esistenza come x>1, cioè l'intervallo: ]1,+∞ [

Ma perchè bisogna porre come campo di esistenza x>1 e non x>0 e diverso da 1?


Grazie a tutti in anticipo

PS: Non sono riuscito ad inserire una scrittura matematica leggibile nel messaggio sqrt sta per radice quadrata.
PPS: Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi come si fa ad inserire i giusti simboli nel messaggio? mi accontento anche di un link con spiegazione Grazie!

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho risistemato le formule con le disequazioni.

[GIMUSI]

per il 1° mi pare tu abbia ragione, x=1 è con evidenza soluzione della disequazione

per il 2° forse è opportuno sfruttare l'identità: \(\log_x 2=1/\log_ 2x\)

per la scrittura in formule basta editare qualche messaggio qui nel forum con formule per capire subito come funziona (e puoi anche copiarle!) e poi magari approfondire in rete (vd. ad es. https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics)

[Massimo Gobbino]

Confermo che sulla prima disequazione la risposta indicata è quella sbagliata (1 deve essere compreso). In effetti nella versione pubblicata quella risposta è stata poi corretta.

Per la seconda hai ragione nel dire che il logaritmo esiste se la base x è maggiore di 0 e diversa da 1. Tuttavia la risposta resta (1,2], come indicato. Il modo forse migliore di vederlo è la formula di cambiamento di basi, come suggerito da GIMUSI.

[Sici]

Grazie delle esaurienti risposte!

Sono riuscito a risolvere con il metodo suggerito da GIMUSI, che peraltro avevo già tentato come metodo di risoluzione, salvo poi bloccarmi al successivo passaggio, per non essere stato in grado di capire che si trattava di un semplice studio del segno di una frazione. Meglio tardi che mai

Approfitto di questo topic, per continuare ad inserire eventuali dubbi sugli esercizi se mi è consetito.

E ho già un piccolo chiarimento/approfondimento da chiedere, sull'esercizio 4 della scheda "Disequazioni 7", ovvero:

\(3^x+9^x>6\)

Risolvendolo come (dis)equazione di secondo grado, pongo \(3^x=y\), trovo le 2 soluzioni -3 e 2, e arrivo al momento del "ritorno in x".
Qui mi accorgo che -3 diventa l'argomento di un log in base 3, pertanto essendo negativo, non produce soluzioni reali, invece il 2 produce una soluzione reale. Ecco la domanda:

Graficamente, come posso rappresentare questa situazione? è una parabola che "tocca l'asse x" in un solo punto? perchè essendo il delta >0 dovrei poterla disegnare con due punti di intersezione con l'asse x, il secondo punto (quello non esistente in R) va rappresentato e poi "cancellato"?
Anche perchè io, per trovare l'intervallo in cui l'equazione fosse >0, ho usato un metodo che il Prof. Gobbino, definirebbe "bovino", cioè ho preso dei numeri > della radice, esempio il numero 3, e ho sostituito nella x tale valore per capire se l'intervallo di esistenza fosse ]radice, +∞[ oppure ]-∞, radice[ , ma sono sicuro che esiste un metodo migliore di questo, qual è?
Grazie ancora

[GIMUSI]

Risolvendolo come (dis)equazione di secondo grado, pongo \(3^x=y\), trovo le 2 soluzioni -3 e 2, e arrivo al momento del "ritorno in x".
Qui mi accorgo che -3 diventa l'argomento di un log in base 3, pertanto essendo negativo, non produce soluzioni reali, invece il 2 produce una soluzione reale. Ecco la domanda:

Graficamente, come posso rappresentare questa situazione? è una parabola che "tocca l'asse x" in un solo punto? perchè essendo il delta >0 dovrei poterla disegnare con due punti di intersezione con l'asse x, il secondo punto (quello non esistente in R) va rappresentato e poi "cancellato"?
Anche perchè io, per trovare l'intervallo in cui l'equazione fosse >0, ho usato un metodo che il Prof. Gobbino, definirebbe "bovino", cioè ho preso dei numeri > della radice, esempio il numero 3, e ho sostituito nella x tale valore per capire se l'intervallo di esistenza fosse ]radice, +∞[ oppure ]-∞, radice[ , ma sono sicuro che esiste un metodo migliore di questo, qual è?
Grazie ancora

credo che sia opportuno distinguere tra il problema di partenza e quello ausiliario ottenuto mediante la sostituzione \(3^x=y\)

il problema ausiliario \(y^2+y-6>0\) è rappresentabile graficamente da una parabola con concavità "verso l'alto" che ha zeri in y=2 e y=-3; le soluzioni sono quindi y>2 e y<-3

a questo punto si deve tornare al problema principale e in \(\mathbb{R}\) solo la soluzione \(y=3^x>2\) ovviamente ammette soluzioni; la rappresentazione grafica del problema principale potrebbe essere rappresentato dalla funzione esponenziale data e dalla regione "esterna" alle due rette orizzontali y=2 e y=-3

per trovare le soluzioni fantasma bisognerebbe passare in \(\mathbb{C}\)...il paradiso dove tutto è possibile o quasi!