Analisi 2 -- 2015/16 -- Scritti d'esame

[Massimo Gobbino]

Qui di sotto i testi degli scritti d'esame. Ricchi premi per chi pubblica le sue soluzioni, anche parziali.

[Angelo Casulli]

Buongiorno!
Posto una soluzione, forse un po' borderline, dell'esercizio 1 del compito. Vorrei sapere se la risoluzione è corretta e se è lecito il trucco del "pasaggio al piano proiettivo" .

[Massimo Gobbino]

Intanto grazie per aver postato la soluzione, che mi dà modo di fare un po' di osservazioni utili (spero) per tutti.

La risposta è giusta, ma sulle motivazioni ho davvero molto da ridire.

Intanto i punti stazionari sono sbagliati ... ci deve essere qualche errore di precorso nella risoluzione del sistema, che però non è riportata. Questa è una osservazione di tipo generale: molti scrivono le soluzioni saltando molti conti intermedi. Il problema è che i risultati sono quasi sempre sbagliati. Per fare un esempio, molti hanno provato a fare il secondo esercizio trovando un campo E che avesse come rotore il campo F assegnato, ma si sono limitati a scrivere E, senza nemmeno fare la verifica: ebbene, meno del 20% dei campi E scritti andava bene ...

Tra l'altro, in questo caso l'errore sui punti stazionari è più strutturale: se una funzione ha una retta di punti stazionari, allora per forza deve essere costante lungo quella retta (facile esercizio), mentre è evidente che in questo caso non lo è, come hai giustamente osservato. Da lì dovevi accorgerti che qualcosa non andava.

Passiamo ora al proiettivo ... quello che tu descrivi *non* è il piano proiettivo. Il piano proiettivo non è il piano normale con "una circonferenza infinita intorno", o meglio lo è ma in una maniera più complicata, nel senso che i punti corrispondenti a due direzioni "opposte" sono identificati. Nello specifico, non è possibile estendere la funzione data al piano proiettivo in modo continuo (perché?).

Certo tu potresti definire uno spazio MyProj in cui metti un punto all'infinito per ogni direzione uscente dall'origine (con l'accordo però che (1,2) e (-1,-2) sono diverse) ed estendere a quello spazio. Tuttavia devi dimostrare che l'estensione è continua, e per farlo certamente non basta fare il limite sulle rette, cioè a theta fisso.

Insomma: i cannoni (matematicamente parlando, e forse non solo) sono sempre pericolosi da usare, e di solito finiscono solo per spostare il problema da un'altra parte. Domanda di geometria: a cosa è omeomorfo MyProj? Si tratta di una varietà?

[Angelo Casulli]

Vero, quello non è il proiettivo .
Lo spazio MyProj è però omeomorfo al disco chiuso di raggio 1, quindi è compatto, di conseguenza la soluzione potrebbe rimanere uguale sostituendo il piano proiettivo con il MyProj... La cosa che però mi spaventa è come dimostrare che l'estensione di f al MyProj è continua. Ci penserò.
Grazie mille per i chiarimenti .

[NoAnni]

Provo a mettere degli Hints su una possibile soluzione dell'1.
Spoiler forti, leggere con cautela, magari provando ad andare avanti leggendone uno alla volta, e ritornare dopo averci provato un po' da soli

[+] Hint 1.0

\(|f(x,y)|\)è crescente in rho.

[+] Hint 1.1

C'è un punto in cui \(f\) è positiva, e un punto in cui è negativa, quindi inf e sup sono "all'infinito".

[+] Hint 1.2

Brutal: all'infinito me ne frego dell'\(1\) al denominatore, conta solo \(x^4+y^4\)...

[+] Hint 1.3

Detta \(g(x)=\frac{x^3y}{x^4+y^4}\), la funzione è omogenea, quindi costante sulle rette passanti per l'origine.

[+] Hint 1.4

Quindi basta trovare max/min di \(g\) su un compatto che interseca tutte le rette per l'origine... Poi lungo la retta per l'origine e il punto di massimo il \(sup(f)=max(g)\).

[+] Hint 1.5

Usiamo i moltiplicatori di Lagrange, e pensiamo ad un vincolo che ci libera del denominatore, in modo da ridurre al minimo i conti!
In realtà ci sono anche altri modi per fare meno conti, vedi soluzione 2.

[+] Soluzione 2

Restringiamoci al primo quadrante per trovare il sup: vogliamo massimizzare un prodotto e minimizzare una somma... Non è che si riesce ad usare la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica?

Chiaramente il tutto va un po' formalizzato.

[Massimo Gobbino]

Ecco i miei spoiler per il numero 1.

[+] Hint 1

Usando un po' di simmetrie (quali?) si dimostra che inf=-sup e ci si riduce a studiare nel primo quadrante

[+] Hint 2

Nel primo quadrante vale

\(f(x,y)=\dfrac{x^3 y}{1+x^4+y^4}\leq\dfrac{x^3 y}{x^4+y^4}=:g(x,y)\)

quindi \(\sup f(x,y)\leq\sup g(x,y)\). Quando vale il segno di uguale nella disuguaglianza tra f(x,y) e g(x,y)?

[+] Hint 3

Il sup di g(x,y) si calcola subito osservando che è una funzione omogenea, il che permette di ridursi a \(\gamma(m)=\dfrac{m}{1+m^4}\)

[+] Hint 4

Detto \(m_0\) il valore che massimizza \(\gamma(m)\), basta ora fare il limite di \(f(t,m_0 t)\) per mostrare che il realtà il sup di f(x,y) coincide con il max di \(\gamma(m)\)

Importante evitare ragionamenti del tipo: "il sup è all'infinito, quindi faccio il limsup che calcolo sulle rette".

[auron95]

Ecco degli hint per l'esercizio 3:

[+] a1

Innanzitutto la convergenza puntuale. Ma "l'arcotangente è solo lì a fare il buffone..." [cit]

[+] a2

La continuità passa al limite per convergenza uniforme, peccato che la serie non converga uniformemente in \((0,+\infty)\). Ma la continuità è un discorso locale...

[+] b1

Per \(x\) grandi, tutti i termini della serie diventano minuscoli, e la \(x\) a numeratore non darà molto fastidio. Ho detto tutti? Forse non proprio tutti...

[+] b2

Per \(n\ge 2\) posso tranquillamente buttare l'arcotangente (perché?). A questo punto scrivendo
\[\frac x{n^{1+x}} = \frac x{n^{\frac x2}}\cdot \frac1{n^{1+\frac x2}} \]
il pezzo a sinistra è limitato uniformemente in \(x\) e \(n\ge 2\), quindi si comporta come un'armonica generalizzata...

[+] b3

Si tratta di far vedere che per \(x\) grandi la somma

\(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac1{n^{1+\frac x2}}\)

diventa molto piccola. Si riuscirà a far vedere, per esempio, che sta sotto a

\(\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac \epsilon{n^2}\)?

[+] b4

Per \(x\) piccolo, tutti i termini sono piccoli, quindi di nuovo si buttano i buffoni (giustificare). Si tratta di stimare
\[ x \cdot \sum_{n=1}^{+\infty} \frac1{n^{1+x}} \]
Come si comporta l'armonica generalizzata?

[+] b5

Confronto serie-integrali...

Spero di non essere stato fuorviante...

[Ghedda]

Proviamo a rispondere alla bonus question.
Supponiamo di aver già dimostrato che la soluzione sia definita per tempi positivi, crescente e non limitata.
Osserviamo che \(\displaystyle u' \ge \frac{\log2016}{\pi/2}=k>1\), da cui integrando
\(u>2016+kt\) e quindi
\(u-t>2016+ct\) , \(c>0\). Questo ci permette di affermare che \(\arctan(u-t) \to \pi/2\) per \(t \to +\infty\).
Applicando De l'Hospital si vede che \(\displaystyle \frac{\log(u+t)}{t} \to 0\) per \(t \to +\infty\).
Sempre per De l'Hospital e per quanto fin qui acquisito \(\displaystyle \frac{u}{t^2} \to 0\) per \(t \to +\infty\), cioè \(u < \epsilon t^2\) per \(t>t_1>1\).
Ora
\(\displaystyle u' \le \frac{\log(u+t)}{\arctan(2016+ct)}<\frac{\log(u+t)}{1}<\log(\epsilon t^2+t)\) per \(t>t_1\).
Integrando
\(\displaystyle u \le u(t_1)+ \int_{t_1}^t\log(\epsilon x^2 + x) dx\).
E' facile vedere che il secondo membro si "comporta" come \(t \log t-t\) e che \(\displaystyle \int_{t_1}^{+\infty}\frac{dt}{t \log t-t}\) diverge.
Finalmente
\(\displaystyle \frac{1}{u} \ge \frac{1}{u(t_1)+ \int_{t_1}^t\log(\epsilon x^2 + x) dx}\) per \(t>t_1\) e quindi per confronto diverge anche il nostro integrale.
Ho fatto bene?
Ma soprattutto, si poteva fare meglio?

[Massimo Gobbino]

Ho fatto bene?

Direi che va bene. Hai seguito la via canonica: la prima stima sistema il denominatore, la seconda il numeratore, la terza arriva al punto.

Ma soprattutto, si poteva fare meglio?

Questo lo deciderà solo la storia.

Visto che ci sono, posto qualche soluzione/commento.

[EDIT] Avevo messo una versione precedente, sorry (quella corretta ha 9 pagine).

[Massimo Gobbino]

Per chi vuole ho aggiunto lo scritto 5 (10 gennaio 2017).

[Massimo Gobbino]

Ho aggiunto lo scritto 6 (24 Febbraio 2017).