Ciao a tutti, mi sono imbattuto nel seguente problema:
dire se v0≡0 con v(0)=v(1)=0 è WLM per il problema ∫10˙v3dx tra le funzioni C1([0,1]) con gli stessi dati al bordo.
Nella lezione 25 del corso dell'anno 2015/16 si mostra che lo stesso problema con dati al bordo u(0)=0 e u(1)=1 aveva la retta u0(x)=x come WLM sfruttando il fatto che in un intorno la derivata doveva restare maggiore di 0 e modificando la ψ(p)=p3 con la funzione convessa ˆψ(p)=|p|3 e notando che per p≥0 si ha ψ=ˆψ.
Questo mi fa credere che nel problema di partenza v0≡0 non sia WLM, ma non sono riuscito ad andare sotto o a dimostrarlo, qualcuno ha qualche idea?
WLM esempio classico lezione 25
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Re: WLM esempio classico lezione 25
Eheh, sei proprio in cerca di guai ... è brutto avere tutte le condizioni necessarie verificate e tutte quelle sufficienti non verificate
Qui direi che si va sotto tranquilli. Quando manca la convessità conviene procedere in modo machiavellico: il male (andare giù) si fa tutto insieme, il bene (tornare su) poco per volta. Non so se il suggerimento è sufficiente

Qui direi che si va sotto tranquilli. Quando manca la convessità conviene procedere in modo machiavellico: il male (andare giù) si fa tutto insieme, il bene (tornare su) poco per volta. Non so se il suggerimento è sufficiente

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Re: WLM esempio classico lezione 25
Grazie Professore per la rapida risposta 
Penso che il suggerimento sia sufficiente, sia x0∈(0,1) il separatore tra il bene e il male e pongo
vε(x)=−εx per x∈[0,x0] e vε(x)=−εx0+εx01−x0(x−x0) per x∈[x0,1]
Allora ∫10˙v3εdx=−ε3x0+ε3x30(1−x0)2=ε3x0(1−x0)2(2x0−1)
quindi se x0<1/2 vado sotto zero rimanendo in un intorno C1 arbitrariamente piccolo di v0

Penso che il suggerimento sia sufficiente, sia x0∈(0,1) il separatore tra il bene e il male e pongo
vε(x)=−εx per x∈[0,x0] e vε(x)=−εx0+εx01−x0(x−x0) per x∈[x0,1]
Allora ∫10˙v3εdx=−ε3x0+ε3x30(1−x0)2=ε3x0(1−x0)2(2x0−1)
quindi se x0<1/2 vado sotto zero rimanendo in un intorno C1 arbitrariamente piccolo di v0

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Re: WLM esempio classico lezione 25
Sì, così l'esempio è molto fine.
Io molto più brutalmente avrei messo il separatore in ε andando giù fino a lì con derivata −ε per poi tornare su con calma. Così viene solo affine a tratti, ma coglie comunque l'essenza, e poi tanto si approssima e non cambia nulla.
Io molto più brutalmente avrei messo il separatore in ε andando giù fino a lì con derivata −ε per poi tornare su con calma. Così viene solo affine a tratti, ma coglie comunque l'essenza, e poi tanto si approssima e non cambia nulla.