WLM esempio classico lezione 25

[C_Paradise]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto nel seguente problema:
dire se \(v_0 \equiv 0 \ \text{con} \ v(0)=v(1)=0\) è WLM per il problema \(\int_0^1 \dot{v}^3 \,dx\) tra le funzioni \(\mathcal{C}^1([0,1])\) con gli stessi dati al bordo.

Nella lezione 25 del corso dell'anno 2015/16 si mostra che lo stesso problema con dati al bordo \(u(0)=0 \ \text{e} \ u(1)=1\) aveva la retta \(u_0(x)=x\) come WLM sfruttando il fatto che in un intorno la derivata doveva restare maggiore di 0 e modificando la \(\psi(p)=p^3\) con la funzione convessa \(\hat{\psi}(p)=|p|^3\) e notando che per \(p \geq 0\) si ha \(\psi=\hat{\psi}\).

Questo mi fa credere che nel problema di partenza \(v_0 \equiv 0\) non sia WLM, ma non sono riuscito ad andare sotto o a dimostrarlo, qualcuno ha qualche idea?

[Massimo Gobbino]

Eheh, sei proprio in cerca di guai ... è brutto avere tutte le condizioni necessarie verificate e tutte quelle sufficienti non verificate

Qui direi che si va sotto tranquilli. Quando manca la convessità conviene procedere in modo machiavellico: il male (andare giù) si fa tutto insieme, il bene (tornare su) poco per volta. Non so se il suggerimento è sufficiente

[C_Paradise]

Grazie Professore per la rapida risposta
Penso che il suggerimento sia sufficiente, sia \(x_0 \in (0,1)\) il separatore tra il bene e il male e pongo

\(v_{\varepsilon}(x)= - \varepsilon x \ \text{per} \ x \in [0,x_0]\) e \(v_{\varepsilon}(x)= - \varepsilon x_0 + \varepsilon \frac{x_0}{1-x_0} (x-x_0) \ \text{per} \ x \in [x_0,1]\)

Allora \(\int_0^1 \dot{v}_{\varepsilon}^3 \,dx = -\varepsilon^3 x_0 + \varepsilon^3 \frac{x_0^3}{(1-x_0)^2}=\varepsilon^3 \frac{x_0}{(1-x_0)^2} (2x_0-1)\)

quindi se \(x_0 < 1/2\) vado sotto zero rimanendo in un intorno \(\mathcal{C}^1\) arbitrariamente piccolo di \(v_0\)

[Massimo Gobbino]

Sì, così l'esempio è molto fine.

Io molto più brutalmente avrei messo il separatore in \(\varepsilon\) andando giù fino a lì con derivata \(-\varepsilon\) per poi tornare su con calma. Così viene solo affine a tratti, ma coglie comunque l'essenza, e poi tanto si approssima e non cambia nulla.