Limite

[DavidMath]

Buongiorno , mi serve una mano con un paio di esercizi che cercherò di mettere nelle sezioni adeguate. Grazie

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty}
\frac{2x+\sin 2x + 1}{(2x+ \sin 2x)(\sin x + 3)^2}\)



Sia f \(\in C^2(R_+; R)\)
tale che

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} xf(x)=0\)

e

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} xf^{\prime\prime}(x)=0\)

Dimostrare che

\(\displaystyle\lim_{x\to \infty} xf^\prime(x) = 0\)

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho risistemato il LaTeX sperando di aver interpretato bene il testo. Ricordo una regola generale di buon senso: post diversi per esercizi diversi.

[GIMUSI]

il primo sembrerebbe indeterminato (lo si vede raccogliendo 2x sopra e sotto)

il testo secondo non mi è chiaro

[DavidMath]

Aggiornato , non riuscivo a compilare il latex..

[GIMUSI]

per il secondo gli apici indicano derivate immagino

non saprei esattamente come svolgerlo...non ne ho mai fatti simili

forse si potrebbe tentare con la definizione degli o-piccolo (\(f(x)=o(1/x) => f(x)=(1/x)*\omega(x)\))?

[GIMUSI]

uhm non mi pare che l'ultima idea funzioni molto

[Uncle]

Sul primo limite proposto spezzerei la frazione in due separando la parte che non ha limite dall'altra.

[GIMUSI]

Sul primo limite proposto spezzerei la frazione in due separando la parte che non ha limite dall'altra.

il primo limite non esiste e si vede facilmente (allego uno svolgimento)

per il secondo esercizio non mi viene nessuna buona idea

[Massimo Gobbino]

per il secondo esercizio non mi viene nessuna buona idea

Eheh, il secondo esercizio è cattivello ... in quanto è un remake delle disuguaglianze di tipo Glaeser. L'idea filosofica di fondo è la seguente: se so qualcosa di una funzione e della sua derivata seconda, allora so qualcosa della sua derivata prima.

La versione più classica, che si può usare come allenamento, è la seguente: data una funzione dai reali nei reali, se la funzione e la derivata seconda sono limitate, allora anche la derivata prima è limitata.