Limite con stime asintotiche

[steph]

Limite x che tende a 0+ di

(e^x * log x) / (log(1+x) + e ^(1/x)) = 0 (secondo il testo)

e^x dovrebbe essere asintotico a 1 + x

log x dovrebbe essere asintotico a -1/x

log (1+x) dovrebbe essere asintotico a x

come determinare l'asintotico di e^(1/x)?

Domanda aggiuntiva lo sviluppo di Mac Laurin al 1° ordine è sempre applicabile per le stime asintotiche?

Grazie

[Massimo Gobbino]

Provo intanto a riscrivere il testo, sperando di aver inteso bene

\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{e^x \cdot\log x}{\log(1+x)+e^{1/x}}\)

[Federico.M]

Salve, volevo sapere se l'esercizio richiede espressamente l'uso di stime asintotiche, dal momento che si può risolvere con solo colpo di Hopital

[steph]

Si è esplicita la richiesta con stime asintotiche. Grazie

[steph]

Il limite è stato scritto perfettamente.

[GIMUSI]

...
log x dovrebbe essere asintotico a -1/x
...

su questo ho qualche dubbio eh

io lo risolverei raccogliendo \(\log x\) al numeratore e \(e^{1/x}\) al denominatore

\(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \frac{\log x}{e^{1/x}} \cdot \frac{e^x}{\dfrac{\log(1+x)}{e^{1/x}}+1}\)

[steph]

Gimusi continuo ad avere difficoltà.
Ho capito la messa in evidenza.
Il primo termine va a zero : lo si risolve con l'Hopital o c'è anche un'altra via, quale l'utilizzo dell'uso della gerarchia degli infiniti?

Per il secondo termine rinnovo la domanda già posta.

La soluzione dell'esercizio richiedeva l'utilizzo delle stime asintotiche . Come potrei procedere con questa metodica?

Grazie

[GIMUSI]

..Il primo termine va a zero : lo si risolve con l'Hopital o c'è anche un'altra via, quale l'utilizzo dell'uso della gerarchia degli infiniti?
...

beh sì logx è un "mega schiappone" che viene battuto pure da una infima x alla epsilon figuriamoci da un esponenziale

...Per il secondo termine rinnovo la domanda già posta...

il secondo tende a 1

...
La soluzione dell'esercizio richiedeva l'utilizzo delle stime asintotiche . Come potrei procedere con questa metodica?

l'unica cosa che mi viene in mente è fare un confronto asintotico con \(\displaystyle\frac{\log x}{e^{1/x}}\) ma non mi pare una gran trovata eh

[Massimo Gobbino]

Il primo termine diventa il solito confronto di ordini di infinito con il cambio di variabili y=1/x. Il secondo termine non è nemmeno una forma indeterminata.

Il significato dell'espressione "stime asintotiche" qui mi è un po' oscuro. L'unica interpretazione che riesco a dare è quella di GIMUSI come "confronto ordini di infinito", che poi porta al raccoglimento proposto.

Segnalo nuovamente che la stima del post iniziale "log x si comporta a 0 come -1/x" non è corretta!