Limite senza Hopital e senza Taylor

[steph]

dimostrare lim x che tende a zero di ( 1/tan x - 1/x) risposta 0

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento fatto con diseguaglianze + limiti notevoli...magari c'è una via più diretta eh

ho anche segnalato una strada alternativa che sembrerebbe fare a meno anche dei limiti notevoli (di questa alternativa trigonometrica mi pare se ne fosse già discusso qui nel forum da qualche parte ma non ricordo dove)

[steph]

Grazie, molto chiaro! Il primo passaggio è molto "smart"!

[Massimo Gobbino]

ho anche segnalato una strada alternativa che sembrerebbe fare a meno anche dei limiti notevoli

Beh, in fondo la prima strada sfrutta il limite notevole con il coseno, mentre la seconda sfrutta la dimostrazione di quel limite notevole, quindi sono chiaramente parenti strette.

Il passaggio iniziale, molto smart effettivamente, è lo stesso della dimostrazione del limite notevole classico con il seno.

Vale forse la pena notare che questo tipo di argomento porta a dimostrare che

\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^2}=0\)

cioè moralmente allo sviluppo di ordine 2 del seno.

[steph]

Sono andato in crisi con il nuovo limite proposto. Non riesco a trovare la soluzione. Inoltre non ho capito il riferimento allo sviluppo di ordine 2 del seno.

[GIMUSI]

...Non riesco a trovare la soluzione. Inoltre non ho capito il riferimento allo sviluppo di ordine 2 del seno.

se vuoi provare nuovamente:

[+] hint

prova a partire dalla stessa diseguaglianza di prima

se poi vuoi confrontare allego qui un possibile svolgimento secondo l'hint

[steph]

Grazie Gimusi.
Se possibile un ulteriore chiarimento:
stiamo applicando di nuovo il Teorema dei Carabinieri. Corretto?

Capisco la messa in evidenza di tanx ma resto perplesso sul fatto che inverti (x- sin x) con (sin x - x).

x - sin x è > 0 ma sin x - x è < 0.

[GIMUSI]

...
Se possibile un ulteriore chiarimento:
stiamo applicando di nuovo il Teorema dei Carabinieri. Corretto?...

esatto o anche del confronto a due se vogliamo

...
Capisco la messa in evidenza di tanx ma resto perplesso sul fatto che inverti (x- sin x) con (sin x - x).

x - sin x è > 0 ma sin x - x è < 0.

è tutto come nel'esercizio di prima...con le diseguaglianze + limite notevole si dimostra che

\(\dfrac{x-\sin x}{x^2} \to 0\)

dunque anche

\(\dfrac{-(x-\sin x)}{x^2} = \dfrac{\sin x-x}{x^2}\to 0\)

[EDIT by Massimo Gobbino: ho migliorato (forse) il LaTeX]