Funzione con soli due stazionari e teorema delirio

[FrancescoM]

Salve a tutti,

stavo cercando di risolvere il quesito lasciato dal professore circa il trovare una funzione con due soli minimi e nessun altro stazionario (rif. funzione HARD HARD). Sono giunto alla seguente funzione che a meno di errori di calcolo sembra funzionare:

\(f(x,y)=(x^2-1)^2+(yx^2-x-1)^2\)

Il gradiente risulta essere:

\(\nabla f(x,y) = (4 x^3 (y^2+1)-6 x^2 y-2 x (2 y+1)+2, 2 x^2 (x^2 y-x-1))\)

I punti stazionari risultano essere quindi \((1,2) , (-1,0)\) che sono anche minimi in quanto la funzione si annulla in quei punti ed è non negativa.

Studiandone le curve di livello risulta che per \(f(x,y)=2\) ci sono tre componenti connesse, mentre per \(f(x,y)=3\) e \(f(x,y)=1\) le curve di livello hanno soltanto due componenti connesse e non sono omeomorfe alle curve del livello corrispettivo a \(2\).
In particolare questa funzione sembra essere un controesempio al teorema delirio (Lezione 130), mi chiedo quindi se valga il teorema sotto ipotesi più forti.

Grazie a chi vorrà rispondere.
Namasté.

[GIMUSI]

spero tu sia riuscito a scovarla....io ci avevo provato senza successo

http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Forum ... f=5&t=1288

hai già verificato che sia quella giusta?

[Massimo Gobbino]

WOW e doppio WOW. Sembrerebbe funzionare, anche se il conto sul gradiente non è semplicissimo senza aiutino informatico. Questo è il primo esempio polinomiale che vedo . Mi chiedo a questo punto se ruotandolo si può renderlo più simmetrico (e alla fine probabilmente più semplice), ad esempio con i due minimi in (1,0) e (-1,0). Sarebbe davvero interessante.

Quanto al teorema delirante enunciato alla fine del corso di analisi 2, in effetti manca un'ipotesi che garantisca che le soluzioni dell'equazione differenziale con il gradiente non abbiano blow up in tempo finito, o equivalentemente che tutte le linee di livello intermedie stiano in un compatto comune. Una possibile ipotesi è che la funzione tenda all'infinito per |x| che tende all'infinito, come nel classico Weierstrass generalizzato. Un'ipotesi più debole dovrebbe essere una qualche forma di Palais-Smale, cioè il fatto che ogni successione con f limitata e gradiente che tende a 0 ha una sottosuccessione convergente. Ipotesi di questo tipo impediscono quello che avviene nell'esempio citato, cioè un cambio di topologia tra linee di livello non limitate, con cambio che avviene in un "punto stazionario all'infinito", proprio quello in cui la soluzione dell'equazione differenziale ha blow up.

Ma mi rendo conto che questo aggiunge delirio a delirio.

[FrancescoM]

Ecco il polinomio con i minimi nei punti \((-1,0)\) ed \((1,0)\) $$f(x,y)=(x^2-1)^2+[(x-y+1)x^2-x-1]^2$$ Nel tentativo di cercare altri polinomi che funzionassero ho trovato un'altra funzione che ha le stesse caratteristiche, forse un po' più facile da pensare, la riporto se a qualcuno mai dovesse servire: $$f(x,y)=(\frac{x^2}{2}-1)^2+\frac{1}{2}x^2e^{y^2}$$ Anche questa con i minimi in \((1,0)\) e \((-1,0)\)

[Massimo Gobbino]

A pensarci bene la mancanza di simmetria è proprio la chiave di volta che fa funzionare un esempio polinomiale.

Una funzione polinomiale pari in x non potrà mai avere solo i 2 minimi. Infatti per parità la derivata rispetto ad x si annulla in tutto l'asse y, e inoltre la restrizione all'asse y sarebbe un polinomio limitato inferiormente, quindi con derivata che si annulla in almeno un punto. Questo produce sempre un terzo punto stazionario sull'asse y, ed è il motivo per cui tutti finora (almeno quei pochi che ci sono riusciti ) avevano prodotto esempi praticamente uguali e non polinomiali.

La seconda funzione dell'ultimo post mi pare invece che abbia almeno l'origine come punto stazionario: non ho fatto i conti, ma non potendo avere termini di primo grado nello sviluppo di Taylor ...

[GIMUSI]

...stavo cercando di risolvere il quesito lasciato dal professore circa il trovare una funzione con due soli minimi e nessun altro stazionario (rif. funzione HARD HARD). Sono giunto alla seguente funzione che a meno di errori di calcolo sembra funzionare:

\(f(x,y)=(x^2-1)^2+(yx^2-x-1)^2\)

...

ecco cosa ho trovato per la rete

https://math.stackexchange.com/question ... no-other-s

diciamo per dovere di cronaca che ci è arrivato in realtà certo \(A.\Gamma.\)

https://math.stackexchange.com/users/253273/a-%ce%93