Gamma Convergence n - Linearization effects

[Step93]

Salve a tutti, ho un po' di problemi con alcuni esercizi relativi a questa parte, in particolare:

DOMANDA 1) Es 2 pag. 40: nella dimostrazione della LIMINF INEQUALITY non riesco a trovare una limitazione per il termine con il seno, qualcuno ha suggerimenti?

DOMANDA 2) Es 4 pag. 40 (primo problema): quando effettuo la linearizzazione le nuove condizioni al bordo dipendono da un fattore ε^(-1\3) che per ε che tende 0 tende a infinito, come gestisco questo caso?

DOMANDA 3) Es 9 pag. 42: non riesco a trovare un giusto esponente α per il parametro ε in modo tale da avere compensazione. Sapreste aiutarmi?


Grazie mille in anticipo, a presto.

[Carmine]

Per quanto riguarda l'ultima domanda, considera [tex]u=\varepsilon v[/tex], così da avere [tex]v[/tex] con estremi ben fissati, e non variabili al variare di [tex]\varepsilon[/tex].

[Massimo Gobbino]

Uhm, strano che nessuno abbia risposto alle domande proposte. Anche la risposta di Carmine avrà suscitato in Step93 un reazione del tipo "ma quello lo avevo già provato io e non porta da nessuna parte ".

Provo allora a dare un piccolo aiutino iniziale io.

1 - Ma quale sarebbe il Gamma limite al quale si sta puntando?

2 - Non è che tutte le volte che c'è un epsilon bisogna linearizzare a macchinetta allo stesso modo.

3 - Ma quale dovrebbe essere il limite del valore M_epsilon?

[Carmine]

Chiedo perdono, nel farlo avevo dimenticato un esponente 2 che in realtà fa cambiare tutto

Rifacendolo ora, direi: ma sbaglio, o il problema limite (che sarebbe quello con funzioni nulle al bordo) ammette un minimo negativo? In caso, detto [tex]M[/tex] tale minimo, la parte principale è semplicemente [tex]M[/tex]

La parte difficile è forse dimostrare che quello è effettivamente il problema limite, il resto è abbastanza evidente... o sbaglio?

[Massimo Gobbino]

Sottoscrivo il post di Carmine. Il problema limite è quello, e la parte principale è M, e si dimostra tutto in maniera abbastanza semplice (anzi forse molto semplice). La parte difficile è capire che le cose stanno così, e che invece il solito cambio di variabili porta a perdersi.

Questo è uno di quelli che chiamo "esercizi contrastivi", nel senso che sono apparentemente simili ad altri che si fanno con una tecnica nota, ma invece sono completamente diversi nella sostanza. Ogni mio eserciziario è costellato di esercizi di questo tipo, che stanno a dire: "occhio, bisogna pensare e non eseguire". Sono quelli che fanno più vittime: il caso più clamoroso è una scheda di analisi 1 sui limiti in cui ad un certo punto ho messo un limite che non è una forma indeterminata, quindi si fa banalmente andando a sostituire il valore. Risultato: è quello su cui ho più richieste di spiegazioni!

Ora restano gli altri due problemi sollevati da Step93.

[Carmine]

Per la seconda domanda, direi che è abbastanza evidente che il Gamma-limite sia:

[tex]\displaystyle F(u)=\int_0^1 \cosh(\dot{u}^4) \ dx[/tex]

A questo punto il minimo di tale funzionale con quei dati al bordo è unico (la retta congiungente) per stretta convessità dell'integranda... Per unicità del punto di minimo, è a tale funzione che ogni successione di minimizers converge (che esista l'equicompattone, a meno di sviste clamorose, è evidente, visto che il fattore [tex]\varepsilon[/tex] non coinvolge la parte sulla derivata).

[Step93]

Vi ringrazio molto per l'aiuto che mi avete dato tuttavia ho ancora dei dubbi:
per quanto riguarda la domanda 3) non riesco a dimostrare in modo rigoroso che il minimo è negativo e non capisco perchè ciò implichi che la parte principale è proprio M...sapreste darmi qualche consiglio in più?

Inoltre non riesco ancora a trovare una risposta alla prima domanda, infatti nelle lezioni del Professor Gobbino (LEZ. 41 PAG. 197 dello stampato integrale) in cui viene svolto un esercizio del tutto analogo non vengono riportati dettagli riguardo questa operazione. Sapreste aiutarmi???

Grazie mille davvero.

[Massimo Gobbino]

per quanto riguarda la domanda 3) non riesco a dimostrare in modo rigoroso che il minimo è negativo e non capisco perchè ciò implichi che la parte principale è proprio M.

Beh, nel momento in cui il problema limite è quello con dati nulli al bordo (questo dovrebbe essere facile da dimostrare), allora il funzionale limite calcolato nella funzione nulla è 0, ma la funzione nulla non risolve Eulero, quindi il minimo è più basso, cioè negativo. Ne segue che M_epsilon tende ad M<0, quindi per definizione M è la parte principale (il concetto di parte principale diventa interessante quando la roba tende a zero o a infinito, non quando tende ad un limite negativo). Poi ovviamente potremmo indagare come tende ad M, ma quello è un problema di ordine superiore, ed entriamo nell'ambito dei Gamma-sviluppi, che però rientrano nei "vorrei ma non posso".

Inoltre non riesco ancora a trovare una risposta alla prima domanda, infatti nelle lezioni del Professor Gobbino (LEZ. 41 PAG. 197 dello stampato integrale) in cui viene svolto un esercizio del tutto analogo non vengono riportati dettagli riguardo questa operazione.

Il fatto è che l'esempio è solo *apparentemente* simile. Qui il Gamma-limite è molto molto basso ... Anche uno sguardo all'ultimo esercizio di "Gamma convergence 3" potrebbe essere illuminante.

[Carmine]

...direi così basso che di più non si può! (a meno di sviste clamorose delle due di notte...)

[Step93]

Grazie mille a entrambi per l'aiuto