Disugualianze non chiare

[g.spinelli]

Dimostra che non converge assolutamente

[tex]\int_{0}^{+\infty}{{\frac{x^{2}-x+1}{{(1+x^{7})}^{\frac{1}{3}}}e^{sin(x)}|cos(x)|dx}[/tex]

la prima disuguaglianza che viene usata nella soluzione è questa che vale per ogni [tex]x[/tex] maggiore di un certo [tex]x_{0}[/tex]:

[tex]{\frac{x^{2}-x+1}{{(1+x^{7})}^{\frac{1}{3}}}e^{sin(x)}|cos(x)|\geq\frac{|cos(x)|}{x}[/tex]

e questa credo di averla capita, la seconda invece che non ho capito come l'ha stabilita è questa:

[tex]\int_{(n-1)\pi}^{n\pi}{\frac{|cos(x)|}{x}dx}\geq\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}{|cos(x)|dx}=\frac{2}{n}[/tex]

L'integrale dunque diverge per confronto con la serie armonica. I passaggi logici sono ok. Ma la seconda disugualianza in particolare non ho capito perché vale e da dove è stata tirata fuori.
Grazie mille in anticipo.

[Carmine]

La seconda disuguaglianza cosi com è scritta è falsa. Se però al posto di [tex]1/n[/tex] metti [tex]1/(n \pi)[/tex] l'obiettivo lo raggiungi lo stesso, e la disuguaglianza è banalmente vera

[Massimo Gobbino]

Sicuro di aver capito bene la prima? Prova a spiegarla per conferma.

[g.spinelli]

La seconda disuguaglianza cosi com è scritta è falsa. Se però al posto di [tex]1/n[/tex] metti [tex]1/(n \pi)[/tex] l'obiettivo lo raggiungi lo stesso, e la disuguaglianza è banalmente vera

perché diventa banalmente vera?

Sicuro di aver capito bene la prima? Prova a spiegarla per conferma.

Inizialmente potrebbe non essere vera, ma il polinomio, è definitivamente positivo, decrescente e asintoticamente equivalente a [tex]\frac{1}{ x^\frac{1}{3}}[/tex] quindi se voglio qualcosa di più piccolo metto un denominatore più grande come [tex]\frac{1}{ x}[/tex] (non troppo grande perché comunque voglio dimostrare che diverge e se mettessi x^2 non risolverei nulla) e poi e^sin(x) è comunque più grande di 1/e quindi sono tranquillo. Penso che sia vera per questi motivi...giusto?

[Carmine]

Beh, guarda bene quanto può fare [tex]\frac{1}{x}[/tex] nell'intervallo in cui stai integrando...

Comunque si, il motivo per la prima disuguaglianza è quello: [tex]e^{\sin(x)} \ge e^{-1}[/tex] ovunque, e in più, per [tex]x \to \infty[/tex], il polinomio [tex]p(x)[/tex] va come [tex]x^{-1/3}[/tex]. Esiste dunque [tex]M>0[/tex] tale che, per [tex]x>M[/tex]:

[tex]\displaystyle \frac{1}{x} \le e^{-1} p(x)[/tex]

[g.spinelli]

Probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma è proprio il passaggio algebrico che non mi è chiaro, graficamente ci sono. ma quali sono i passaggi algebrici che mi permettono di tirare fuori 1/[tex](n\pi)[/tex] dall'integrale e di rimanere con l'integrale da 0 a pi greco di |cos(x)| moltiplicato 1/[tex](n\pi)[/tex]?

[Carmine]

Allora... siano, per ogni [tex]n \ge 1[/tex]:

- [tex]g(x)=|\cos(x)|[/tex];
- [tex]f(x)=1/x[/tex];
- [tex]h_n(x)=1/(n\pi)[/tex].

Tutte le funzioni citate fino ad ora sono non-negative in [tex][0,+\infty[[/tex]. Per [tex]x \in [(n-1)\pi,n\pi][/tex], si ha:

[tex]\displaystyle \frac{1}{n\pi} \le \frac{1}{x} ,[/tex]

dunque per ogni [tex]n \ge 1[/tex]:

[tex]f(x) g(x) \ge h_n(x)g(x)[/tex]

nell'intervallo [tex][(n-1)\pi,n\pi][/tex]. A questo punto integri e concludi.

[g.spinelli]

Grazie mille!! Ora è tutto chiaro! Grazie davvero per la disponibilità e la chiarezza!