Simulazione scritto d'esame (Christmas edition)

[Massimo Gobbino]

Per gli amanti del genere, ecco una simulazione di scritto d'esame. Chi vuole può postare qui soluzioni, suggerimenti, commenti ... Spero che l'atmosfera natalizia non abbia prodotto troppi errori ...

Già che ci siamo quasi, auguri a tutti!

[Carmine]

Ecco la soluzione dell'esercizio 2. Spero di non aver fatto castronerie come con l'altro esercizio...

[Carmine]

In riferimento al seguente messaggio:

Ovviamente possiamo by-passare il problema mostrando con il metodo diretto che il problema di minimo ha soluzione (unica per stretta convessità). Tuttavia applicare il metodo diretto in quel caso ha una seccatura non banale. Quale? Questo sì che è istruttivo.

presente nella sezione degli scritti d'esame 2016 (ho pensato di spostare qui la discussione), credo che la seccatura sia dovuta al fatto che le derivate prime fanno un po' quello che gli pare, e sono apparentemente non controllabili.

[Massimo Gobbino]

Esatto: il problema, volendo usare il metodo diretto, è che nella fase di compattezza serve "qualcosa che limiti le derivate prime", e questo qualcosa apparentemente non c'è.

Tuttavia, e qui sta la parte istruttiva della cosa, tutte le volte che si ha un controllo sulla funzione e sulla derivata seconda, si può dedurre un controllo sulla derivata prima! Più in generale, si può sempre controllare una certa derivata se si sa controllare una qualche derivata "successiva" ed una qualche derivata "precedente".

Pensiamolo brutalmente: può una funzione avere derivata prima grande a piacere ed essere invece lei controllata?

[Carmine]

File aggiornato, dovrei aver risolto

[Carmine]

Nel quarto esercizio, nel secondo punto ho agito per linearizzazione. Ma è possibile calcolare esplicitamente il minimo del funzionale che si ottiene? Oppure basta dire che quel funzionale ammette minimo [tex]k<0[/tex] reale, e quindi la successione dei minimi va come [tex]k/\varepsilon[/tex]?

Me lo chiedo perchè già questo risponderebbe alle domande, e anche perchè al momento non vedo un modo facile per calcolare esplicitamente il minimo di quel funzionale...

EDIT: anche leggendo la traccia, il fatto che chieda l'ordine di infinitesimo e non la parte principale mi induce a pensare che (usando la notazione del testo) [tex]I_1[/tex] non sia calcolabile esplicitamente...

Detto questo, più in alto c'è il link con la soluzione completa.

[Massimo Gobbino]

Sì, la mancata richiesta della parte principale induce a pensare che il coefficiente esatto (che poi non è un minimo, ma solo un inf) non sia calcolabile esplicitamente.