Gamma convergence 3

[Carmine]

Prof, nell'esercizio 3 la seconda disuguaglianza è in generale falsa. Infatti:

- Se [tex](f_n), (g_n)[/tex] sono successioni di funzioni identicamente nulle, si ha uguaglianza;

- Se [tex](f_n)=((-1)^n)[/tex], [tex](g_n)=(-(-1)^n)[/tex], si ha il minore stretto;

- Se [tex](f_n)=(-g_n)[/tex], e per ogni [tex]n[/tex] si ha [tex]f_n(x)=0[/tex] se [tex]x \ne 0[/tex] e [tex]f_n(0)=1[/tex] se [tex]x=0[/tex], allora si ha il maggiore stretto (in [tex]0[/tex]).

Spulciando un po' su internet, ho visto che una formula vera è la seguente:

[tex]\displaystyle \Gamma-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n+g_n)(x) \ge[/tex]

[tex]\displaystyle \ge \Gamma-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n)(x) + \Gamma-\lim_{n \to \infty} \inf (g_n)(x)[/tex]

anche se ho pensato che la disuguaglianza che avesse Lei in mente (sicuramente vera e facilmente dimostrabile) fosse:

[tex]\displaystyle \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n+g_n)(x) \le[/tex]

[tex]\displaystyle \le \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (f_n)(x) + \Gamma^+-\lim_{n \to \infty} \sup (g_n)(x)[/tex]

[Carmine]

Comunque l'affermazione all'esercizio 4, punto b, è falsa.

[Massimo Gobbino]

Quella disuguaglianza con il Gamma-limsup della somma è davvero delirante. Non ho idea di cosa io volessi dire .

Tra l'altro è pure contraddittoria: se con il Gamma-liminf ci può essere disuguaglianza stretta anche in presenza di Gamma-limite, di certo non ci può essere l'opposto per il Gamma-limsup. Certamente con i Gamma+ limiti tutto si inverte, ma banalmente, e poi quelli li ho messi solo nell'ultima scheda.

Ora provo a correggere. Grazie per la segnalazione.