Potenze contro fattoriali

[francicko]

[tex]lim_{n\to\+infty}(n^n)/(n!)=infty[/tex];
[tex]lim_{n\to\+infty}(n^n)/((2n)!)=0{[/tex];
E ' possibile dare una dimostrazione elementare di questi due limiti?
Il primo e' evidente che va ad infinito, Comunque va sempre dimostrato in maniera rigorosa, come?

[Edit by Massimo GOBBINO] Ho cambiato il titolo perché il precedente era troppo generico (usare come titolo "Limite" nella sezione dei limiti non dice molto ).

[GIMUSI]

sono limiti trattati ampiamente a lezione mi pare...per la dimostrazione mi paiono fatti a posta per un bel criterio del rapporto

[francicko]

Ok, grazie!
Volendo per la risoluzione si potrebbe usare qualcosa di diverso dal criterio del rapporto?
Potreste darmi una mano per la soluzione di questi altri due limiti di successioni

[tex]\lim \dfrac{n\log n}{\log[(2n)!]}[/tex]

[tex]\lim \dfrac{1+1/2+1/3+\ldots+1/n}{\log n}[/tex]

Grazie!

[EDIT by Massimo Gobbino] Ho risistemato le formule.

[Massimo Gobbino]

Uhm, temo che per i primi 2 qualunque cosa sia equivalente al criterio del rapporto, o per lo meno ad una sua dimostrazione in quel caso particolare. Detto altrimenti, uno può stimare in vari modi il fattoriale dall'alto e dal basso, ad esempio isolando una parte dei termini, ma così facendo sta sostanzialmente ri-dimostrando il criterio del rapporto.

Gli altri due limiti invece mi sembrano fatti apposta per il confronto serie-integrali.

Poi ovviamente si possono fare tutti anche con Stirling, ma quello è davvero un cannone spacca-tutto!

[francicko]

Grazie infinite per le risposte!
La serie [tex]1+1/2+1/3+....+1/n[/tex]per [tex]n->infty[/tex]e' asintotica ad [tex]~logn[/tex]?
Come lo si può dimostrare( in 0 la funzione $1/x $ non e' definita).

[Massimo Gobbino]

L'asintotica per quella sommatoria si dimostra con le disuguaglianze di confronto con gli integrali. La cosa è spiegata tutti gli anni, compreso il fatto che il comportamento a 0 della funzione è irrilevante. Ad esempio è spiegato alla lezione 67 dell'anno scorso.

Quello che uno ottiene (guardando il solito disegno oppure più formalmente per induzione) è la disuguaglianza

[tex]\displaystyle\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx\leq 1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}\leq 1+\int_1^n\frac{1}{x}\,dx[/tex]

da cui l'asintotica richiesta.

Un paio di disuguaglianze che possono aiutare a fare i primi due limiti con soli confronti elementari sono le seguenti (si ottengono banalmente maggiorando/minorando i termini del fattoriale):

[tex]n!\leq n^{n-1}[/tex]

[tex](2n)!\geq n^{n+1}[/tex]

[francicko]

Grazie!

[GIMUSI]

per i primi due limiti allego uno svolgimento di riepilogo secondo i diversi metodi discussi qui nel thread:
1 - criterio del rapporto
2 - confronto
3 - approssimazione di stirling

[GIMUSI]

allego anche uno svolgimento per gli altri due limiti secondo i metodi discussi qui nel thread:
1 - confronto serie-integrali (per entrambi)
2 - approssimazione di stirling (mi pare applicabile solo al primo )