determinare l'ordine di infinitesimo

[Help!]

Buongiorno

Io mi sono bloccato in un esercizio che chiedeva la determinazione dell'ordine di infinitesimo e la parte principale p(x) della seguente funzione f(x):

sin( ­­­Pi * cosx ) per x che tende a Pi

nella soluzione l'ordine di infinitesimo di f(x) è 2
mentre la parte principale p(x)= (-Pi/2)*(x-Pi)^2

ho provato senza riuscirci usando principalmente limiti notevoli e o piccolo

Grazie in anticipo!

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento...probabilmente migliorabile...che ne pensi?

colgo l'occasione per augurare un BUON NUOVO ANNO a tutto il popolo del forum!

[Help!]

Buon anno 2016 anche a Lei e a coloro che hanno collaborato alla creazione e organizzanione di questo sito.

Per quanto riguarda l'esercizio, data la funzione in questione

non capisco il passaggio trigonometrico per arrivare a determinare l'uguaglianza

Thank you very much!

[GIMUSI]

Buon anno 2016 anche a Lei e a coloro che hanno collaborato alla creazione e organizzanione di questo sito.

"coloro" credo siano il solo Prof. Gobbino e colleghi, sta a tutti noi studenti e appassionati renderlo ancora più utile e vivo...c'è anche un thread apposito per lasciare apprezzamenti sull'utilità del forum e delle videolezioni, se le hai trovate utili puoi anche testimoniarlo là:

http://forum.dma.unipi.it/Studenti/view ... f=25&t=315

non capisco il passaggio trigonometrico per arrivare a determinare l'uguaglianza...

è una semplice identità degli archi associati: [tex]sin(\pi+\theta)=-sin(\theta)[/tex]

ovviamente ho utilizzato questa per fare in modo che l'argomento del seno venisse zero così da poter utilizzare lo sviluppo noto

se hai dubbi di precorso ti consiglio di dare un'occhiata alle videolezioni e appunti su questi argomenti

you are welcome

kind regards

[Massimo Gobbino]

Io lo avrei fatto così (che poi è praticamente la stessa soluzione di GIMUSI). Parto con cambio di variabili e precorso

[tex]\sin(\pi\cos(\pi+h))=\sin(-\pi\cos h)=-\sin(\pi\cos h)[/tex]

Poi sviluppo il coseno (per semplicità non metto gli [tex]o(h^2)[/tex] che andrebbero messi ovunque)

[tex]-\sin(\pi\cos h)=-\sin\left[\pi\left(1-\dfrac{h^2}{2}\right)\right]=-\sin\left[\pi-\dfrac{\pi h^2}{2}\right][/tex]

Ora di nuovo precorso e sviluppo del seno (sempre trascurando i soliti o piccolo)

[tex]-\sin\left[\pi-\dfrac{\pi h^2}{2}\right]=\sin\left(-\dfrac{\pi h^2}{2}\right)=-\dfrac{\pi h^2}{2}[/tex]

ed il gioco è fatto.

Segnalo anche due approcci alternativi. Il primo è sviluppare la funzione data di ordine due con centro in pi greco, calcolando i coefficienti facendo le derivate (approccio orribile, ma in questo caso praticabile). Il secondo è molto a posteriori, cioè verificare che

[tex]\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\sin(\pi\cos x)}{(x-\pi)^2}=-\frac{\pi}{2}[/tex]

cosa che si può fare con solo cambi di variabili, precorso e limiti notevoli, senza mai nemmeno nominare o piccolo.

[Help!]

Grazie infinite!