Analisi Matematica 1 2015 - Scritti d'esame

[Massimo Gobbino]

Ecco il testo del primo scritto. Prima o poi potrei arrivare a postare le mie soluzioni, ma sarebbe molto più utile che qualcuno postasse le sue, in modo da poterle discutere e commentare.

[Ghedda]

Provo a rispondere (brevemente) ad alcuni quesiti dell'esercizio 3.
Dalla disuguaglianza [tex]\displaystyle\frac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x[/tex] valida per [tex]x>-1[/tex] e dal teorema dei due carabinieri si deduce che la funzione dell'esercizio tende a [tex]\ln2[/tex] quando [tex]x[/tex] tende a [tex]0^{+}[/tex].
Allora nell'intervallo [tex][0,2\pi][/tex] la funzione risulta continua e per il teorema di Weiestrass ammette massimo e minimo assoluti (il massimo nell'intervallo [tex][0,\pi)[/tex] dove la funzione risulta positiva).
Per [tex]0 < x < \pi[/tex] utilizzando il teorema della media integrale si ha che
(1) [tex]\displaystyle\int_x^{x+\sin(x)}\frac{1}{\ln(1+t)}dt=\frac{\sin(x)}{\ln(1+c_x)}[/tex] con [tex]c_x \in [x,x+\sin(x)][/tex];
(2) [tex]\displaystyle\int_{x+2n\pi}^{x+2n\pi+\sin(x+2n\pi)}\frac{1}{\ln(1+t)}dt=\frac{\sin(x)}{\ln(1+c_y)}[/tex] con [tex]c_y \in [x+2n\pi,x+2n\pi+\sin(x)][/tex].
Essendo [tex]c_x<c_y[/tex] si deduce immediadamente che [tex]f(x)>f(x+2n\pi)[/tex] e che quindi il massimo assoluto trovato nell'intervallo [tex][0,2\pi][/tex] lo è anche nell'intervallo [tex][0, +\infty)[/tex].
Analogamente si ragiona per il minimo.

[Massimo Gobbino]

Ecco i testi del secondo e terzo scritto, per chi vuole provare a farli condividendo le sue soluzioni.

[Massimo Gobbino]

Per gli amanti del genere, ecco il quarto scritto.

[Massimo Gobbino]

Quinto scritto.