Significato geometrico della derivata terza

[Ancient Mariner]

La derivata terza fornisce informazioni sul grafico della funzione? Come il concetto di convessità/concavità esprime quanto aumenta la crescenza della funzione, così esiste un concetto di "felicità"/"tristezza" che esprime se la funzione diventa più convessa o più concava? Se in un punto la derivata terza si annulla e la quarta no, questo è un punto "di cambiamento di umore", equivalente del punto di flesso, dove le funzioni felici diventano tristi e quelle tristi felici? E se in un punto di cambiamento di umore si annulla anche la derivata seconda, abbiamo un caso particolare di cambiamento di umore così come, quando insieme alla derivata seconda si annullava anche la prima, il flesso era a tangente orizzontale? Per tendere a +infinito per x che tende a 0 da sinistra, una funzione deve necessariamente essere felice (sempre più convessa) come sembra dal grafico? Esiste un'interpretazione fisica di questo concetto traducibile ad esempio come "accelerazione dell'accelerazione" che ci fornisce informazioni su come varia l'accelerazione? Tutto ciò è argomento di qualche corso di analisi più avanzata? O è un parto della mia mente malata?

[Ancient Mariner]

Nessuno risponde?

[Massimo Gobbino]

La migliore risposta è questa citazione

U.S. President Richard Nixon, when campaigning for a second term in office announced that the rate of increase of inflation was decreasing, which has been noted as "the first time a sitting president used the third derivative to advance his case for reelection"

riportata per esempio in https://en.wikipedia.org/wiki/Third_derivative

Non ci sono interpretazioni grafiche immediate della derivata terza, e certo alcune intuizioni rischiano di essere fuorvianti. Questo però vale anche per le derivate precedenti: il tendere a +infinito per x che tende a 0 da sinistra certamente non implica nulla sulla derivata terza, ma nemmeno sulla seconda o prima (non c'è obbligo di convessità o monotonia!).

Interpretazioni fisiche banali ce ne sono sicuramente, del tipo "tasso di variazione dell'accelerazione", ma queste appunto sono banali. Teniamo conto che la fisica si basa su F=ma, e le accelerazioni sono derivate seconde. Certamente ci sono modelli che coinvolgono derivate successive, ma spesso e volentieri si tratta di derivate "pari", come è evidente da un corso di calcolo delle variazioni. Tanto per fare qualche esempio

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2% ... eam_theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Plate_theory

A quel punto anche quantità definite da derivare terze hanno un senso, basta vedere la shear force nel primo link.

Insomma, le derivate successive non hanno posto solo nelle menti malate ... e non c'è oggetto matematico che non abbia ottime probabilità di servire (ora o in futuro) per spiegare qualcosa.