Insiemi numerici

[Giacomo]

buongiorno a tutti
Sarebbe possibile definire N come un insieme che ha:
tutte le proprietà della somma naturali( comm. ass. elem neutro. )
le analoghe proprietà del prodotto
la proprietà distributiva;
un ordinamento con le stesse proprietà che ha in R e che vanno bene anche per N;
+ il fatto che 0 è un minimo e che tra 0 e 1 non ci sono elementi;
e dimostrare che ha tutte le proprietà di peano?

[Massimo Gobbino]

Domanda interessante. Intanto che qualcuno ci pensa e (spero) risponde, sposto nella sezione giusta .

[Giacomo]

non mi riesce dimostrare il principio di induzione.. e non voglio pensare che esistano insiemi "cosi naturali " in cui non vale tale principio.. qualcuno saprebbe aiutarmi?

[Massimo Gobbino]

Pensa a

[tex]\{0\}\cup[1,+\infty)[/tex]

[Giacomo]

pensavo che il fatto che non ci fossero numeri tra 0 e 1 implicasse che non ci fossero numeri tra n e n+1 generico.. ma non avendo mai provato a dimostrarlo credevo male! dato che non lo implica mi chiedo, si possono dimostrare le proprietà di peano cambiando l' ultima proprietà con " qualunque n non esistono numeri compresi strettamente tra n e n+1?

[Massimo Gobbino]

Direi che non basta ancora ... e nota che stai mettendo assiomi pesantissimi (tutte le proprietà algebriche della somma), più infinite proprietà dell'ordinamento, senza riuscire ancora a dedurre il semplice Peano. Il problema è che con i soli assiomi della somma nessuno ti assicura che partendo da 0 e continuando ad aggiungere 1 raggiungi ogni elemento. Ovviamente l'esempio si fa sempre più riposto, e avanti di questo passo arriveremo agli ordinali. L'esempio qui penso che possa essere [tex]\mathbb{N}\times\mathbb{N}[/tex] con somma definita component-wise

[tex](a_1,b_1)+ (a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)[/tex]

e ordinamento lessicografico, cioè [tex](a_1,b_1)\leq(a_2,b_2)[/tex] se e solo se [tex]a_1<a_2[/tex] oppure [tex]a_1=a_2[/tex] e [tex]b_1<b_2[/tex] . Lo zero è la coppia (0,0) e l'unità è la coppia (0,1). Continuando a sommare l'unità si raggiunge solo il primo livello (0,n), ma non si può arrivare ai "piani superiori" (il piano è la prima variabile ).