Uniforme continuità

[Marcoment]

Salve,
non riesco a capire se la funzione [tex]$ e^x\cos {1 \over x} $[/tex] è uniformemente continua in (0,1), qualcuno ha un'idea?

Grazie mille

[Pirello]

Prova a verificare la continuità nell'intervallo per poi usare il teorema di Heine-Cantor

[Marcoment]

Il problema è a zero perchè il coseno oscilla e l'esponenziale è 1 quindi non esiste il limite

[Pirello]

Il problema è a zero perchè il coseno oscilla e l'esponenziale è 1 quindi non esiste il limite

Beh, da come è scritto l'intervallo non contiene lo zero. In questo caso banalmente la funzione è continua..

[Massimo Gobbino]

non riesco a capire se la funzione [tex]$ e^x\cos {1 \over x} $[/tex] è uniformemente continua in (0,1), qualcuno ha un'idea?

La risposta è negativa, nel senso che la funzione non è uniformemente continua, non nel senso che non ne ho idea

Se conosci il teorema di estensione (una funzione uniformemente continua si può sempre estendere come funzione continua alla chiusura), la risposta è praticamente banale. Se non lo conosci, hai due opzioni: aspetti di conoscerlo (certamente lo farò nel secondo semestre di Analisi 1), oppure ti aggiusti "a mano" facendo vedere che ci sono coppie di punti vicini quanto ti pare in cui la differenza tra i valori assunti è maggiore, per esempio, di 1/2, da cui la violazione della definizione di uniforme continuità.

Intanto però sposto nella sezione giusta.

[Marcoment]

Grazie mille per la risposta! Quindi si può dire che in un compatto una funzione è uniformemente continua se e solo se si può estendere con continuità sulla chiusura, naturalmente la funzione deve essere continua (sarebbe heine-cantor+teorema di estensione). E' giusto?

[Massimo Gobbino]

in un compatto una funzione è uniformemente continua se e solo se si può estendere con continuità sulla chiusura

Forse vuoi dire non in un compatto (che è già chiuso), ma in un limitato. Detto meglio: se un sottoinsieme D dei reali è limitato, allora [tex]f: D \to\mathbb{R}[/tex] è uniformemente continua se e solo se si può estendere in maniera continua alla chiusura.

La dimostrazione è semplice. Una freccia (se è UC, allora è estendibile con continuità), è il teorema di estensione. La freccia inversa (se è estendibile con continuità, allora è UC) si fa così: la chiusura di un limitato è compatta, l'estensione è continua sulla chiusura, quindi è UC nella chiusura per Heine-Cantor, quindi a fortiori è UC in D.

Se D invece di stare nei reali stesse in uno spazio metrico qualunque, allora basterebbe sostituire limitato con totalmente limitato.

[Marcoment]

Sì volevo dire limitato; grazie per la risposta.