calcolo serie

[mancichiara]

salve a tutti... qualcuno sa risolvere la serie della seconda simulazione di secondo esonero??
allego testo
grazie in anticipo

[Massimo Gobbino]

Bellissimo esercizio, molto istruttivo (anche se impegnativo). Per questo lo sposto nella sezione giusta.

D'altra parte si sa che l'amico/collega Kalle è strutturalmente incapace di dare esercizi facili .

[GIMUSI]

sì bellissimo...più tardi mi cimento senz'altro...ma tutte quelle radici?!?!

[mancichiara]

Grazie mille

[GIMUSI]

salve a tutti... qualcuno sa risolvere la serie della seconda simulazione di secondo esonero??
allego testo
grazie in anticipo

allego un possibile svolgimento fammi sapere se ti sembra convincente

[mancichiara]

Perfetto grazie!!!

[Massimo Gobbino]

Ma un buon amico Taylor di ordine 3 da subito?

[GIMUSI]

Ma un buon amico Taylor di ordine 3 da subito?

era così...giusto per complicarsi un po' la vita eh

[GIMUSI]

allego un secondo possibile svolgimento fatto con l'amico taylor come suggerito dal prof. Gobbino

ho un dubbio sull'utilizzo del resto di peano, è corretto bisognerebbe utilizzare l'espressione con il resto di lagrange o è indifferente

[Massimo Gobbino]

Ottimi dubbi ! La cosa migliore è scrivere

[tex]\sqrt{1+x}-1=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+g(x)[/tex]

e osservare che (e qui serve Taylor di ordine 3)

[tex]\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{g(x)}{x^3}=\dfrac{1}{16}[/tex]

A quel punto ponendo per semplicità

[tex]a_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}[/tex]

si ottiene che la serie proposta è la serie di

[tex]\dfrac{1}{2}a_n-\dfrac{1}{8}a_n^2+g(a_n)[/tex]

Scrivendola quindi come somma di tre serie, si vede subito che

• la prima converge per Leibnitz,
• la seconda diverge a meno infinito perché c'è 1/n,
• la terza converge per confronto asintotico (con cosa?) grazie al limite scritto sopra.

[GIMUSI]

...
Scrivendola quindi come somma di tre serie, si vede subito che

• la prima converge per Leibnitz,
• la seconda diverge a meno infinito perché c'è 1/n,
• la terza converge per confronto asintotico (con cosa?) grazie al limite scritto sopra.

la terza direi che converge assolutamente per confronto asintotico con

[tex]b_n=\dfrac{1}{n\sqrt{n}}[/tex]

[GIMUSI]

allego un terzo svolgimento fatto con taylor secondo le ultime indicazioni del prof. Gobbino