Analisi Matematica 1 2015 - Primo compitino

[Massimo Gobbino]

Mi ero sempre dimenticato di postarlo, ma ora finalmente ecco qui il testo del primo compitino.

Chi vuole discutere approcci e soluzioni può farlo qui sotto.

[GIMUSI]

allego le mie soluzioni con svolgimento del compitino

l'esercizio 7 ho provato a farlo con weierstrass...ma non sono certo dell'esito

[EDIT] vd. file in rev01

[GIMUSI]

nella rev01 ho corretto ed integrato la soluzione dell'esercizio 7 discutendo il limite del punto (c) nei vari casi

[EDIT] in ulteriore revisione l'esercizio 7

[GIMUSI]

nella rev02 ho rivisto l'ostico'esercizio 7, in particolare:

- modificando in modo non sostanziale la parte (a) che si fa con weierstrass

- correggendo la parte (b) per la quale credo che le precedenti soluzioni fossero errate (quindi c non esiste)

- rivedendo completamente il punto (c) per il quale penso di essere arrivato ad una soluzione corretta anche se per una via tortuosa (e forse nemmeno del tutto corretta) che mi lascia insoddisfatto

attendo anche i vostri pareri e opinioni...magari anche da quelli che al compitino hanno preso 36!!!...bravi davvero

[Ghedda]

Esercizio 7 (c)
Osserviamo che
0 <= n! c_n <= n! min 2^x /(arctan x + x^n) <= n! min 2^x / x^n = n! 2^a/ a^n con a = n/ln 2.

Da cui, passando al limite, si ottiene che n! c_n -> 0

[GIMUSI]

Esercizio 7 (c)
Osserviamo che
0 <= n! c_n <= n! min 2^x /(arctan x + x^n) <= n! min 2^x / x^n = n! 2^a/ a^n con a = n/ln 2.

Da cui, passando al limite, si ottiene che n! c_n -> 0

quindi mi pare di capire che la sostanza sia quella...certo che così mi pare molto più sintetico chiaro ed elegante...grazie 1000

[Massimo Gobbino]

Come osservato nella nuova versione, mettere a=n era pure più comodo. Per il (7b) bastava invece mettere a=2.

Quanto agli esercizi precedenti, è davvero buffo spezzare in due la geometrica con ragione negativa. Lo hanno fatto in tanti anche tra i partecipanti, ma non c'è davvero nessun bisogno di farlo.

[GIMUSI]

Come osservato nella nuova versione, mettere a=n era pure più comodo. Per il (7b) bastava invece mettere a=2.

non mi è chiara l'osservazione sul punto (7b)

Quanto agli esercizi precedenti, è davvero buffo spezzare in due la geometrica con ragione negativa. Lo hanno fatto in tanti anche tra i partecipanti, ma non c'è davvero nessun bisogno di farlo.

sempre per complicarsi un po' la vita...o è quel [tex](-1)^n[/tex] che terrorizza ...in effetti portandolo dentro è tutto molto piu semplice

[Massimo Gobbino]

non mi è chiara l'osservazione sul punto (7b)

Se esistesse una costante c con la proprietà richiesta, questa costante dovrebbe verificare

[tex]c\leq\dfrac{2^2}{\arctan 2+2^n}[/tex]

per ogni intero positivo n (questa relazione si ottiene mettendo 2 al posto di x). Facendo tendere n all'infinito si vede che c non può essere positiva.

[GIMUSI]

...
Se esistesse una costante c con la proprietà richiesta, questa costante dovrebbe verificare

[tex]c\leq\dfrac{2^2}{\arctan 2+2^n}[/tex]

per ogni intero positivo n (questa relazione si ottiene mettendo 2 al posto di x). Facendo tendere n all'infinito si vede che c non può essere positiva.

ok chiaro...io lo avevo fatto lo stesso ragionamento per un x>1 generico

[GIMUSI]

Come osservato nella nuova versione, mettere a=n era pure più comodo...

mi è venuto qualche altro piccolo dubbio...il passaggio da [tex]a=n/log2[/tex] ad [tex]a=n[/tex] come si giustifica esattamente

nella mia ultima versione avevo utilizzato un criterio "asintotico"...è un passaggio che si può evitare

[Massimo Gobbino]

...il passaggio da [tex]a=n/log2[/tex] ad [tex]a=n[/tex] come si giustifica esattamente

In realtà non c'è nulla da giustificare. Sapendo che

[tex]c_n\leq\dfrac{2^x}{\arctan x+x^n}[/tex]

per ogni x>0, io posso ottenere una stima dall'alto di [tex]c_n[/tex] sostituendo ad x il valore che mi pare, e non ho bisogno di giustificare in alcun modo la mia scelta. Ponendo x=n ottengo che il limite di [tex]n!c_n[/tex] è zero, dunque ho fatto quello che veniva richiesto, senza bisogno di ulteriori spiegazioni.

Questo per quanto riguarda la soluzione formale dell'esercizio, cioè quello che bisogna scrivere per avere una soluzione corretta.

Poi ovviamente possiamo parlare, ed è giusto parlare, della fase euristica, cioè del perché mai a uno viene in mente di sostituire x=n, e non invece una delle altre infinite possibilità. Allora lì entra in gioco il "brutal mode" in cui uno trascura l'arcotangente e calcola esplicitamente il punto di minimo della funzione "approssimante", che risulta essere proprio [tex]n/\log 2[/tex], e da lì uno si fa venire l'idea.

Certo l'esercizio sarebbe stato più interessante, ma anche più difficile, se avesse richiesto una stima *dal basso* di [tex]c_n[/tex], perché a quel punto non sarebbe stato più sufficiente sostituire ad x un valore particolare astuto. Inutile dire che ero stato tentato da questa opzione , ma poi ho desistito trattandosi in fondo di un compitino. Ma se qualcuno vuole divertirsi lungo questa sottile linea di confine, può provare a calcolare il limite di [tex]n\sqrt[n]{c_n}[/tex]

[GIMUSI]

...il passaggio da [tex]a=n/log2[/tex] ad [tex]a=n[/tex] come si giustifica esattamente

In realtà non c'è nulla da giustificare. Sapendo che

[tex]c_n\leq\dfrac{2^x}{\arctan x+x^n}[/tex]

per ogni x>0, io posso ottenere una stima dall'alto di [tex]c_n[/tex] sostituendo ad x il valore che mi pare, e non ho bisogno di giustificare in alcun modo la mia scelta. Ponendo x=n ottengo che il limite di [tex]n!c_n[/tex] è zero, dunque ho fatto quello che veniva richiesto, senza bisogno di ulteriori spiegazioni...

ecco...va bene un [tex]x[/tex] fissato anche a sentimento purché tenda a zero ("costringendo" anche il vero [tex]c_n*n![/tex] a tendere a zero)...ora mi pare tutto più chiaro

...
Certo l'esercizio sarebbe stato più interessante, ma anche più difficile, se avesse richiesto una stima *dal basso* di [tex]c_n[/tex], perché a quel punto non sarebbe stato più sufficiente sostituire ad x un valore particolare astuto. Inutile dire che ero stato tentato da questa opzione , ma poi ho desistito trattandosi in fondo di un compitino. Ma se qualcuno vuole divertirsi lungo questa sottile linea di confine, può provare a calcolare il limite di [tex]n\sqrt[n]{c_n}[/tex]

provare?!?! e che ci staremmo qui a fare se no?

[GIMUSI]

[quote="Massimo Gobbino...Ma se qualcuno vuole divertirsi lungo questa sottile linea di confine, può provare a calcolare il limite di [tex]n\sqrt[n]{c_n}[/tex][/quote]

mi butto: [tex]e\cdot\log 2[/tex]

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento per il calcolo del limite di [tex]n\sqrt[n]{c_n}[/tex]