Calcolo limite

[francicko]

E' possibile calcolare il seguente limite

[tex]\displaystyle\lim_{x\to e}(\log x)^{1/(x-e)}[/tex]

solo con l'ausilio dei limiti notevoli?
Saluti!

[Massimo Gobbino]

Yes.

[francicko]

Perfetto, grazie!
Credo di essere riuscito, ponendo [tex]logx=t[/tex] ho riscritto il limite nella forma [tex]\lim_{t \to 1}t^{(1/(e^t-e))}[/tex], dopo ho sostituito a [tex]t[/tex], nell'intorno di [tex]1[/tex],la funzione asintoticamente equivalente, [tex]e^{t-1}[/tex], ottenendo cosi la forma [tex]lim_{t\to 1}e^{(1/e)((t-1)/(e^{t-1}-1))[/tex], ed utilizzando il noto limite notevole [tex]lim_{t\to 1}(e^{t-1}-1)/(t-1)=1[/tex] ottengo come risultato [tex]e^{1/e}[/tex]

[Massimo Gobbino]

Boh, io avrei seguito la strada canonica, iniziando a riportare il limite in 0 ponendo y=x-e. A quel punto basta osservare precorsisticamente che

[tex]\log(e+y)=1+\log\left(1+\dfrac{y}{e}\right)[/tex]

e passando all'esponenziale si chiude con lo smontaggio in prodotto di limiti notevoli.

Occhio alla sostituzione di pezzi con altri pezzi asintoticamente equivalenti: quelle sono cose che non si fanno, parenti del "limite metà per volta", i cui rischi sono stati tante volte evidenziati.

[francicko]

Quindi il procedimento per la soluzione, che ho riportato sopra può ritenersi errato?
Scusi se insisto nelle domande, ma io sovente, sostituisco forme asintoticamente equivalenti, anche se faccio attenzione che non vi sia il coinvolgimento di termini successivi, potrebbe cortesemente riportarmi qualche esempio, in cui questo rischio risulta evidente?
Grazie!
Saluti!

[Massimo Gobbino]

La discussione sui pericoli derivanti dal fare i limiti metà volta viene fatta in tutti i corsi di analisi 1. Basta quindi che cerchi in un'annata qualsiasi la lezione che la contiene (di solito è indicato nell'argomento).

Gli unici modi per evitare di fare i limiti metà per volta sono di non fare mai limiti fino all'ultimo passaggio, o comunque di gestire bene "o piccolo".

Per intenderci, la seguente scrittura è scorretta (intendendo il limite per y che tende a 0):

[tex]\dfrac{1}{y}\log\left(1+\log\left(1+\dfrac{y}{e}\right)\right)=\dfrac{1}{y}\log\left(1+\dfrac{y}{e}\right)\to\dfrac{1}{e}[/tex]

perché ho sostituito il logaritmo interno con qualcosa di equivalente fregandomene di tutto, mentre la seguente è corretta

[tex]\dfrac{1}{y}\log\left(1+\log\left(1+\dfrac{y}{e}\right)\right)=\dfrac{1}{y}\log\left(1+\dfrac{y}{e}+o(y)\right)=[/tex] [tex]\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{y}{e}+o(y)\right)\to 0[/tex]

così come sarebbe corretto fare il classico smontaggio con i limiti notevoli, cioè in questo caso moltiplicare e dividere tutto per [tex]\log\left(1+\dfrac{y}{e}\right)[/tex] e poi fare il limite solo all'ultimo passaggio.