Test 08-12 - Insiemi 1 Funzioni 1-4 (Eserciziario >= 2014)

[GIMUSI]

allego le soluzioni dei test 08-09-10-11-12

[Nicoletta]

Ciao e grazie.
Avrei da fare alcune domande relative alla pagina 4 degli esercizi con le soluzioni:
- Dove hai preso 13/4 nella 13)?
- in (-infinito;1) la 14) ha zero soluzioni??Non riesco a capire....a me sembra l'insieme vuoto;
- nella 15) a me viene sempre l'insieme vuoto..:-S;
Per il resto mi tornano tutte quelle sopra, devo ancora confrontare le ultime....ah, anche nella 5) mi torna compreso lo 0] e non escluso in una soluzione, mentre avevo messo escluso per 0 soluzioni.

[Nicoletta]

Per quanto riguarda le immagini e le controimmagini, ce ne sono un sacco che non mi tornano..evidentemente ancora non le ho capite io..devo sostituire la x nell'immagine e la y nella controimmagine e verificare con un grafico intuitivo?

[GIMUSI]

Ciao e grazie.
Avrei da fare alcune domande relative alla pagina 4 degli esercizi con le soluzioni:
- Dove hai preso 13/4 nella 13)?
- in (-infinito;1) la 14) ha zero soluzioni??Non riesco a capire....a me sembra l'insieme vuoto;
- nella 15) a me viene sempre l'insieme vuoto..:-S;
Per il resto mi tornano tutte quelle sopra, devo ancora confrontare le ultime....ah, anche nella 5) mi torna compreso lo 0] e non escluso in una soluzione, mentre avevo messo escluso per 0 soluzioni.

quello che indichi con "5" è probabilmente il mio "4"
[tex]8^x= \lambda[/tex]
in tal caso 0 va escluso perché l'immagine della funzione è (0,+inf)

per il 13 credo sia conveniente suddividere i due casi
[tex]x \ge 3[/tex] e [tex]x<3[/tex]
i due rami di parabola si congiungono in 3 e il minimo si verifica in x=-1/2 (e vale proprio -13/4)

anche per la 14 è conveniente suddividere tre casi
[tex]x<1[/tex], [tex]1 \leq x <2[/tex] e [tex]x \ge2[/tex]
si ottengono tre tratti rettilinei, il primo decresente, il secondo costante e il terzo crescente

per il 15 il procedimento è analogo al precedente

fammi sapere cosa ottieni

[GIMUSI]

Per quanto riguarda le immagini e le controimmagini, ce ne sono un sacco che non mi tornano..evidentemente ancora non le ho capite io..devo sostituire la x nell'immagine e la y nella controimmagine e verificare con un grafico intuitivo?

credo che avere un'idea del grafico sia essenziale, proprio come negli esempi svolti a lezione (magari dai un'occhiata anche agli anni precedenti)

[Nicoletta]

Ciaooo!!Grazie!!!!!!!Domani sera le rifaccio e ti dico..in ogni caso il minimo (cioè il vertice della parabola) mi torna 1/2..In x=1/2 la y=11/4:-S

[alabarba]

Ciao!
Innanzitutto grazie a chi GIMUSI per avere condiviso le soluzioni! Ho iniziato a svolgere gli esercizi di pag 2: Funzioni 1

Ho un dubbio sull'esercizio 19.3:
\(\cos (2^x): \mathbb{R}_{< 0} \rightarrow \mathbb{R} \)

Per x < 0 la funzione \(2^x \) varia tra 0 e 1 estremi esclusi e mi sembra iniettiva. Nell'intervallo (0,1) anche la funzione \( \cos x\) dovrebbe essere iniettiva, di conseguenza anche la composizione delle due funzioni dovrebbe essere iniettiva e io avevo concluso che la funzione proposta fosse iniettiva ma non suriettiva.

Mi sono perso qualche pezzo?

Grazie!

Antonio

[alabarba]

Salve,
ho provato a svolgere anche gli esercizi di pag 2: Funzioni 2

Ho dei dubbi sui seguenti esercizi:

• numero 8: \( |x^2 - 3 |\) La controimmagine dell'insieme \(\{3,4\}\) secondo me è data dall'insieme\( \{ -\sqrt{7}, -\sqrt{6}, 0, \sqrt{6}, \sqrt{7} \}\). Cioè le soluzioni delle equazioni \( |x^2 - 3 |= 3 \) e \(|x^2 - 3 |= 4 \)
• numero 16: \(\log_3(9 + |x + 9|)\) L'immagine di \((-\infty, -1]\) per me è data dall'intervallo \([2, +\infty)\)
  Infatti la funzione 9 + |x + 9| dovrebbe avere un grafico equivalente al grafico di |x| ma traslato a sinistra di 9 e in alto di 9 quindi per x che varia in \((-\infty, -1]\) dovrebbe assumere valori compresi tra 9 e \(\infty\). Di conseguenza il logaritmo in base 3 dovrebbe assumere valori compresi tra \(\log_3(9 )=2\) e \(\infty\)
• numero 20: \(\sin(2^x)\): L'immagine dell'intervallo \((0,2\pi)\) per me è l'intervallo [-1,1] nel file sembra scritto [-2,1] ma magari sto solo leggendo male il 2 che in realtà è un 1
• numero 20: \(\sin(2^x)\): per calcolare la controimmagine dell'intervallo \([0,\frac{1}{2} ]\) ho considerato il grafico della funzione seno nell'intervallo \([0, 2\pi]\): y è compresa tra e 1 quando x è compresa tra 0 e \(\frac{\pi}{6}\) o quando x è compresa tra \(\frac{5}{6}\pi\) e \(\pi\). Nel periodo successivo la situazione si ripete quindi ho imposto
  
  \(0 + 2k\pi \leq 2^x \leq \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) con \(k \in \mathbb {Z}\)
  \(\frac{5}{6}\pi + 2k\pi \leq 2^x \leq \pi + 2k\pi\) con \(k \in \mathbb {Z}\)
  
  Considerato che y=2^x è strettamente crescente posso passare ai logaritmi e applicare la proprietà della somma dei logaritmi che uguale al logaritmo del prodotto e ottengo
  
  per k=0 \(\log_2(0) \leq x \leq \log_2(\frac{\pi}{6}) \) o \(\log_2(\frac{5}{6}\pi) \leq x \leq \log_2(\pi) \)
  per k=1 \(\log_2(2) + \log_2(\pi) \leq x \leq \log_2(\frac{13}{6}) + \log_2(\pi) \) o \(\log_2(\frac{17}{6}) + \log_2(\pi) \leq x \leq \log_2(3) + \log_2(\pi) \)
  per k=2 \(\log_2(4) + \log_2(\pi) \leq x \leq \log_2(\frac{25}{6}) + \log_2(\pi) \) o \(\log_2(\frac{29}{6}) + \log_2(\pi) \leq x \leq \log_2(5) + \log_2(\pi) \)
  per k=3 \(\log_2(6) + \log_2(\pi) \leq x \leq \log_2(\frac{37}{6}) + \log_2(\pi) \) o \(\log_2(\frac{41}{6}) + \log_2(\pi) \leq x \leq \log_2(7) + \log_2(\pi) \)
  
  Quindi in generale
  
  \(\log_2(2k) + \log_2(\pi) \leq x \leq \log_2(2k + \frac{1}{6}) + \log_2(\pi) \) o \(\log_2(2k + \frac{5}{6}) + \log_2(\pi) \leq x \leq \log_2(2k-1) + \log_2(\pi) \) con \(k \in \mathbb {Z}\)

Vi torna?

Grazie in anticipo a chi risponderà!

[alabarba]

Ciao,
proseguo con qualche domanda anche sugli esercizi di pagina 4: Funzioni 3

• numero 7: \(\arctan x = \lambda\). Visto che il grafico dell'arcotangente è compreso tra le rette \(y=-\frac{\pi}{2}\) e \(y=\frac{\pi}{2}\) io avrei detto che per \(\lambda \leq -\frac{\pi}{2}\) o \(\lambda \geq \frac{\pi}{2}\) l'equazione non ha alcuna soluzione
• numero 10: \(| x^2 - x | = \lambda\). Sono d'accordo con le soluzioni proposte, in più mi risulta che per \(\lambda = \frac{1}{4}\) ci siano 3 soluzioni distinte e per \(0 < \lambda < \frac{1}{4} \) ci siano 4 soluzioni distinte.
• numero 16: \(| | x-7 | - 6 | = \lambda\). Sono d'accordo con le soluzioni proposte, eccetto il fatto che a mio parere anche per \(\lambda > 6\) esistono due soluzioni distinte. In più mi risulta che per \(\lambda = 6\) ci siano 3 soluzioni distinte e per \(0 < \lambda < 6 \) ci siano 4 soluzioni distinte.
• numero 21: \(\arccos [x + 2^ {\lambda}] =\lambda\). Sono d'accordo che per \(\lambda \in [0, \pi]\) ci sia una sola soluzione, ma aggiungerei che per\( \lambda \notin [0, \pi]\) ci sono zero soluzioni.
• numero 22: \(x^2 - x = \lambda^2 - \lambda\). Per me abbiamo 0 soluzioni se \(\lambda < \frac{1}{2}\), 1 soluzione se \(\lambda = \frac{1}{2}\) e 2 soluzioni se \(\lambda > \frac{1}{2}\).
  \(x^2 - x \) è una parabola con concavità verso l'alto e vertice in \((\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\) quindi io ho imposto \(\lambda^2 - \lambda= -\frac{1}{4} \) per ricavare il valore di \(\lambda\) che corrisponde all'ascissa del vertice. Al di sopra di questo valore avremo due soluzioni, al di sotto nessuna.

Grazie a chi risponderà!

[Massimo Gobbino]

\(\cos (2^x): \mathbb{R}_{< 0} \rightarrow \mathbb{R} \)

Per x < 0 la funzione \(2^x \) varia tra 0 e 1 estremi esclusi e mi sembra iniettiva. Nell'intervallo (0,1) anche la funzione \( \cos x\) dovrebbe essere iniettiva, di conseguenza anche la composizione delle due funzioni dovrebbe essere iniettiva e io avevo concluso che la funzione proposta fosse iniettiva ma non suriettiva.

Concordo.