LIMITI 11 Esercizio 3 prima colonna

[NelloGiovane]

Eccomi ancora a chiedere il vostro aiuto...
Questo è il limite:

lim n-> +infinito

[sin(cos(n!+3))]^n

non capisco come posa tendere a zero, prima di guardare le soluzioni ero quasi certo che non avesse limite. Logicamente non lo vedo così abominevole.

ho provato anche con il rapporto radice ma non ho otteunuto nulla di signigficativo.

[CoTareg]

Io l'ho risolto con i carabinieri. Praticamente cos (n!+3) oscilla tra -1 e +1, quindi il valore della funzione in esame oscilla tra sin(-1) e sin (1). Eleva tutto a n e ottieni
(sin(-1))^n<=(sin(cos(n!+3)))^n<=(sin(1))^n.
Ora i due estremi sono minori (in modulo) di 1 e un esponenziale con base in modulo minore di uno tende a zero. La funzione di partenza quindi è costretta ad andare a zero.

[Massimo Gobbino]

Ehm, potremmo discutere a lungo se sia lecito elevare tutto alla n conservando i versi ...

[CoTareg]

Quindi niente carabinieri? Come si dovrebbe dimostrare correttamente?

[Massimo Gobbino]

Basta dimostrare che il *valore assoluto* di quella roba tende a 0, e questo si fa con la stessa idea che hai avuto tu.

[dakron9]

chiedo scusa se rispolvero un post vecchio di 4 anni circa.
avrei un dubbio e un problema:

dubbio: la dimostrazione più corretta è

1) -|sin(1)|^n <= (sin( cos(n! + 3) ) )^n <= |sin(1)|

oppure

2) -|sin(1)|^n <= |(sin( cos(n! + 3) ) )|^n <= |sin(1)|

problema:

se il limite fosse stato (cos(sin(n! + 3) )^n come si potrebbe dimostrare se esiste o se tende a zero?

infatti, con il seno che oscilla tra -1 e +1 (quindi è incluso lo zero), il coseno oscilla tra 0.56 circa e +1...

ora, se ho la certezza che sin(n!+3) raggiunge infinite volte il valore 0 allora so che il limite oscillerebbe tra 0 e +1, quindi non esiste.

inoltre sin(x)=0 per tutti i multipli interi di pi-greco (se non ricordo male)

come faccio a sapere se (n! + 3) assumerà valori uguali a un multiplo di pi-greco? (non saprei proprio come trovare una sottosuccessione adatta, se c'è)

per il momento continuerò a pensarci, ma se c'è un suggerimento (o anche una soluzione) lo accetto volentieri..

buona serata

[Massimo Gobbino]

dubbio: la dimostrazione più corretta è

1) -|sin(1)|^n <= (sin( cos(n! + 3) ) )^n <= |sin(1)|

oppure

2) -|sin(1)|^n <= |(sin( cos(n! + 3) ) )|^n <= |sin(1)|

Nessuna delle 2 Le disuguaglianze che scrivi sono entrambe false . Il punto di partenza corretto è

[tex]0\leq |\sin(\cos(n! + 3) )|^n\leq |\sin 1|^n[/tex]

se il limite fosse stato (cos(sin(n! + 3) )^n come si potrebbe dimostrare se esiste o se tende a zero?

Sarebbe stata tutta un'altra storia, molto più complicata, così come tutti i problemi che riguardano la "posizione" dei multipli di pi greco rispetto agli interi ...

Il primo caso eclatante è quello del limite di [tex]\sin(n^2)[/tex]. Certo, è probabile che non esista, ma una dimostrazione di questo fatto non l'ho mai vista.

[dakron9]

Nessuna delle 2

cavolo! dovrò ripassarmi un bel pò di precorso
non ho capito dove ho sbagliato ma ci arriverò!

spero che queste disattenzioni siano normali per quelli che, come me, studiano analisi per passione.

la ringrazio per i chiarimenti

[Massimo Gobbino]

cavolo! dovrò ripassarmi un bel pò di precorso
non ho capito dove ho sbagliato ma ci arriverò!

Il problema precorsistico è che da

[tex]-A\leq B\leq A[/tex]

non si può dedurre che

[tex]-A^n\leq B^n\leq A^n[/tex]

(o per lo meno si può dedurre solo per n dispari, mentre per n pari ci sono facili controesempi).

spero che queste disattenzioni siano normali per quelli che, come me, studiano analisi per passione.

Gli appassionati hanno il grosso vantaggio di porsi i problemi e voler capire. Invece molti "veri" studenti (cioè quelli che non studiano a spese proprie) spesso se ne fregano e basta .

[dakron9]

forse ho scritto male la disequazione dall'inizio.

nella 2 intentevo -(1) * (|sin(-1)|^n)

in pratica ho considerato la disequazione -|x| <= x <= |x|

usando una notazione "intuitiva" posso dire che (-1) * ( | min ( f(x) ) | ) <= f(x) <= | max( f(x) ) | ??

[Massimo Gobbino]

Uhm, anch'io devo aver letto distrattamente il post iniziale, e dato eccessivo peso a qualche esponente dimenticato ...

In ogni caso, il limite proposto rientra nella categoria

[tex][\sin(\cos(M_n))]^n[/tex]

dove [tex]M_n[/tex] è una qualunque espressione, non importa quale. Tale limite è zero, come si può vedere con i carabinieri a partire, indifferentemente, da una delle seguenti disuguaglianze:

[tex]-(\sin 1)^n \leq [\sin(\cos(M_n))]^n \leq (\sin 1)^n[/tex]

[tex]-(\sin 1)^n \leq |\sin(\cos(M_n))|^n \leq (\sin 1)^n[/tex]

[tex]0 \leq |\sin(\cos(M_n))|^n \leq (\sin 1)^n[/tex]

Nel secondo e terzo caso stiamo usando anche il "trucco del valore assoluto", cioè il fatto che [tex]a_n\to 0[/tex] se e solo se [tex]|a_n|\to 0[/tex].

Quanto all'ultimo fatto citato nel post precedente, la disuguaglianza vera è

[tex]-\max|f(x)| \leq f(x) \leq \max |f(x)|[/tex]

cioè con il max da entrambi i lati.