GAUSS-GREEN 1

[GIMUSI]

Per il primo esercizio, ho solamente parametrizzato il dominio [tex]\Omega[/tex], anche se ho usato due parametri [tex]\theta[/tex] e [tex]t[/tex] volevo indicarne solo uno...

ah ok

..per il secondo infatti non ero sicuro che fosse nullo il flusso, puoi postare una soluzione?

se ho capito bene si richiede il flusso di v attraverso il bordo di omega...in tal caso il flusso dovrebbe essere 1/2

[EDIT] nella rev01 ho corretto il disegno in 3D del dominio

[Gabe]

Ma la figura in tre dimensioni sei sicuro che venga cosi?

[GIMUSI]

Ma la figura in tre dimensioni sei sicuro che venga cosi?

credo di sì...ragionando per sezioni a z=costante x e y dovrebbero variare su un dominio triangolare del tipo 0<x<y<k

[GIMUSI]

Ma la figura in tre dimensioni sei sicuro che venga cosi?

credo di sì...ragionando per sezioni a z=costante x e y dovrebbero variare su un dominio triangolare del tipo 0<x<y<k

ops...hai ragione mannaggia l'ho disegnato bene in paiano e poi male in 3D...lo rifaccio subito

[ghisi]

Per il primo esercizio, ho solamente parametrizzato il dominio [tex]\Omega[/tex], anche se ho usato due parametri [tex]\theta[/tex] e [tex]t[/tex] volevo indicarne solo uno...

Quella che hai scritto è la parametrizzazione del bordo di [tex]\Omega[/tex] non di [tex]\Omega[/tex]

se ho capito bene si richiede il flusso di v attraverso il bordo di omega...in tal caso il flusso dovrebbe essere 1/2

Come sempre: questo è il flusso uscente. Se la richiesta fosse stata il flusso entrante cambiavano i segni.

[Gabe]

Si è vero, ho fatto conto che volesse utilizzare GG ed ho parametrizzato solo il bordo,

se volessi parametrizzare proprio l intero dominio [tex]\Omega[/tex] potre dividere in [tex]3[/tex] pezzi:

Pezzo 1: [tex]\rho \in [0, 2][/tex] e [tex]\theta \in [-\pi/2, -\pi/3][/tex]

Pezzo 2: [tex]\rho \in [0, 2][/tex] e [tex]\theta \in [-\pi/3, -\pi/2][/tex]

Pezzo 3: non ha tratti curvilinei, quindi niente [tex]\rho[/tex] e [tex]\theta[/tex]

[Gabe]

Ho dei problemi con questi due calcoli di flusso:

[tex]1) \Omega=\{0 \leq y \leq z \leq x^2 \leq 1 \}[/tex], [tex]\overline{E}=(y^2, x^2, z^2)[/tex].

[tex]div(\overline{E})=2z \rightarrow Flusso=\int_{-1}^1 dx \int_0^{x^2} dy \int_0^{x^2} 2z dz=2/7[/tex], anzichè [tex]4/21[/tex] riportato nelle soluzioni

[tex]2) \Omega=\{x^2+y^2 \leq 1, x^2+z^2 \leq 1\}, \overline{E}=(x+3y, z^3y, x+z)[/tex].

qui invece ho dei dubbi sul dominio, sono due circonferenze ruotate di [tex]90[/tex]° e la loro intersezione è il tratto dell' asse [tex]x[/tex] tra [tex]-1[/tex] e [tex]1[/tex], il dominio quindi qual'è?

[GIMUSI]

Ho dei problemi con questi due calcoli di flusso:

[tex]1) \Omega=\{0 \leq y \leq z \leq x^2 \leq 1 \}[/tex], [tex]\overline{E}=(y^2, x^2, z^2)[/tex].

[tex]div(\overline{E})=2z \rightarrow Flusso=\int_{-1}^1 dx \int_0^{x^2} dy \int_0^{x^2} 2z dz=2/7[/tex], anzichè [tex]4/21[/tex] riportato nelle soluzioni

mi pare che gli estremi di integrazione siano impostati male

conviene sempre farsi un disegno per capire quali sono gli estremi (soprattutto in casi come con domini molto strani)

io l'ho fatto sezionando per piani z costante, allego lo svolgimento

Ho dei problemi con questi due calcoli di flusso:
...
[tex]2) \Omega=\{x^2+y^2 \leq 1, x^2+z^2 \leq 1\}, \overline{E}=(x+3y, z^3y, x+z)[/tex].

qui invece ho dei dubbi sul dominio, sono due circonferenze ruotate di [tex]90°[/tex] e la loro intersezione è il tratto dell' asse [tex]x[/tex] tra [tex]-1[/tex] e [tex]1[/tex], il dominio quindi qual'è?

il dominio è l'intersezione di due cilindri...allego lo svolgimento con due metodi:

- il primo, con piani z=k, porta a calcoli complicati

- il secondo, che corrisponde al metodo visto a lezione (n.34), si basa su piani x=k ed è molto più semplice

PS "qual è" senza apostrofo ti prego

[Gabe]

Proprio non riesco a visualizzare queste superfici in 3 dimensioni

Ho dei problemi con questi due calcoli di flusso:

PS "qual è" senza apostrofo ti prego

Non ci avevo mai fatto attenzione, me lo ricorderò!

[e.rapuano]

GIMUSI, non mi è chiaro come hai rappresentato l'insieme: 0<=y<=z<=x^2<=1...

[GIMUSI]

GIMUSI, non mi è chiaro come hai rappresentato l'insieme: 0<=y<=z<=x^2<=1...

come ho scritto nel commento dell'esercizio, sezionando per piani a z=k

[e.rapuano]

GIMUSI, non mi è chiaro come hai rappresentato l'insieme: 0<=y<=z<=x^2<=1...

come ho scritto nel commento dell'esercizio, sezionando per piani a z=k

...ed escono dei rettangoli!?!?

[GIMUSI]

GIMUSI, non mi è chiaro come hai rappresentato l'insieme: 0<=y<=z<=x^2<=1...

come ho scritto nel commento dell'esercizio, sezionando per piani a z=k

...ed escono dei rettangoli!?!?

è semplicissimo, se fissi [tex]z=k[/tex] con [tex]0 \leq k \leq 1[/tex] allora:

[tex]0 \leq y \leq k[/tex]

[tex]-1 \leq x \leq -\sqrt k[/tex]

[tex]\sqrt k \leq x \leq 1[/tex]

quindi nei piani [tex]z=k[/tex] il dominio si presenta come nel disegno riportato nello svolgimento (rettangoli o segmenti per i valori limite)

ovviamente si può anche ragionare per sezioni a [tex]x=k[/tex] o a [tex]y=k[/tex]

[nomeutente]

Ho un dubbio: ho come dominio la sfera di raggio 2 e il vettore E=(x + arctan(y^2), x + y + e^z^2, z)
La divergenza dovrebbe essere 3 e quindi GG si riduce al volume della sfera per 3, quindi 32π. Nella soluzione manca il π, ho sbagliato?

[ghisi]

Ho un dubbio: ho come dominio la sfera di raggio 2 e il vettore E=(x + arctan(y^2), x + y + e^z^2, z)
La divergenza dovrebbe essere 3 e quindi GG si riduce al volume della sfera per 3, quindi 32π. Nella soluzione manca il π, ho sbagliato?

Io vorrei proprio sapere dove vi siete procurati tutte queste versioni vecchie dell'eserciziario...