Applicazione della formula di Gauss-Green

[Gabe]

Anch'io ho dei problemi con questo esercizio:

Bordo: [tex]y=0[/tex] e [tex]\gamma(t)=(cos t, sin t)[/tex] con [tex]t \in [0,\pi][/tex] e Funzione: [tex]\phi=y[/tex]

Ho scelto come vettore [tex]E=(xy,1)[/tex], quindi mi sono riportato a: [tex]\int_{\partial D} A\, dy + B\, dx[/tex].

Facendo un disegno della curva vedo che la devo dividere in 3 pezzi: [tex]\gamma_{1}(t)=(t,0)[/tex] con [tex]t \in [0,1][/tex] [tex]\gamma_{2}(t)=(cos t, sin t)[/tex] con [tex]t \in [0, \pi/2][/tex] e [tex]\gamma_{3}(t)=(0, t)[/tex] con [tex]t \in [0,1][/tex]

Svolgendo i primi due integrali vedo che mi vengono: [tex]\int_{0}^{1}0\, - 0\, dt[/tex], nel primo integrale ho preso [tex]A=t*0=0[/tex], [tex]dy=0[/tex] e [tex]B=0[/tex], [tex]dx=0[/tex].

Credo di sbagliare ma non capisco come, mi potete aiutare?

[GIMUSI]

Anch'io ho dei problemi con questo esercizio:

Bordo: [tex]y=0[/tex] e [tex]\gamma(t)=(cos t, sin t)[/tex] con [tex]t \in [0,\pi][/tex] e Funzione: [tex]\phi=y[/tex]

Ho scelto come vettore [tex]E=(xy,1)[/tex], quindi mi sono riportato a: [tex]\int_{\partial D} A\, dy + B\, dx[/tex].

Facendo un disegno della curva vedo che la devo dividere in 3 pezzi: [tex]\gamma_{1}(t)=(t,0)[/tex] con [tex]t \in [0,1][/tex] [tex]\gamma_{2}(t)=(cos t, sin t)[/tex] con [tex]t \in [0, \pi/2][/tex] e [tex]\gamma_{3}(t)=(0, t)[/tex] con [tex]t \in [0,1][/tex]

Svolgendo i primi due integrali vedo che mi vengono: [tex]\int_{0}^{1}0\, - 0\, dt[/tex], nel primo integrale ho preso [tex]A=t*0=0[/tex], [tex]dy=0[/tex] e [tex]B=0[/tex], [tex]dx=0[/tex].

Credo di sbagliare ma non capisco come, mi potete aiutare?

ci sono alcune cose che non tornano...davanti alla B nell'integrale della forma differenziale ci dovrebbe essere un segno meno...inoltre la suddivisione in tre tratti del bordo sembra non corrispondere con la descrizione iniziale

allego un svolgimento basato sui dati seguenti:

Bordo: [tex]y=0[/tex] e [tex]\gamma(t)=(cos t, sin t)[/tex] con [tex]t \in [0,\pi][/tex] e Funzione: [tex]\phi=y[/tex]

[Gabe]

Hai ragione avevo letto male, pensavo che come bordo ci fosse l asse y....

Però avrei un altra domanda, se avessi scelto [tex]E=(xy, 1)[/tex], avrei avuto: [tex]\int_{0}^{\pi} sin (t) *cos^2 (t) dt + \int_{\gamma_2} t*0*0dt -\int_{0}^{\pi} 1*[-sin(t)] dt -\int_{-1}^{1} 1[/tex] [tex]dt = 2/3-4[/tex], ti torna?

[GIMUSI]

Hai ragione avevo letto male, pensavo che come bordo ci fosse l asse y....

Però avrei un altra domanda, se avessi scelto [tex]E=(xy, 1)[/tex], avrei avuto: [tex]\int_{0}^{\pi} sin (t) *cos^2 (t) dt + \int_{\gamma_2} t*0*0dt -\int_{0}^{\pi} 1*[-sin(t)] dt -\int_{-1}^{1} 1[/tex] [tex]dt = 2/3-4[/tex], ti torna?

ricontrolla dovrebbe venire:

[tex]2/3+2-2=2/3[/tex]

[Gabe]

hai ragione

[Gabe]

Non riesco a svolgere questi esercizi:

Calcolare gli integrali delle funzioni [tex]\phi[/tex] sui domini [tex]\Omega[/tex], i domini [tex]\Omega[/tex] vengono assegnati mediante caratterizzazione del loro bordo:

1) [tex]\Omega = \{(cos t, sin t, v), (t,v) \in 0, 2\pi ] x [ 0,1 ] \} \cup[/tex] [tex]\{z=0\} \cup \{ z=1 \}, \phi=x^2[/tex]

2) [tex]\Omega = \{x+2y+3z=1, x, y, z \geq 0\} \cup[/tex] [tex]\{x=0\} \cup \{y=0\} \cup \{z=0\}, \phi=y[/tex]

Ho provato a scrivere [tex]\phi[/tex] come vettore [tex]\overline {E}=(A, B, C)[/tex], per poi fare [tex]\iiint_{\Omega} div (\overline{E}) dxdydz[/tex][tex]= \int_{\delta\Omega} < \overline{E}, \overline n> d\sigma= \pm \iint_{\Omega} AM_1+BM_2+CM_3 du dv[/tex],

solo che poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione

[GIMUSI]

Non riesco a svolgere questi esercizi:

Calcolare gli integrali delle funzioni [tex]\phi[/tex] sui domini [tex]\Omega[/tex], i domini [tex]\Omega[/tex] vengono assegnati mediante caratterizzazione del loro bordo:

1) [tex]\Omega = \{(cos t, sin t, v), (t,v) \in 0, 2\pi ] x [ 0,1 ] \} \cup[/tex] [tex]\{z=0\} \cup \{ z=1 \}, \phi=x^2[/tex]

2) [tex]\Omega = \{x+2y+3z=1, x, y, z \geq 0\} \cup[/tex] [tex]\{x=0\} \cup \{y=0\} \cup \{z=0\}, \phi=y[/tex]

Ho provato a scrivere [tex]\phi[/tex] come vettore [tex]\overline {E}=(A, B, C)[/tex], per poi fare [tex]\iiint_{\Omega} div (\overline{E}) dxdydz[/tex][tex]= \int_{\delta\Omega} < \overline{E}, \overline n> d\sigma= \pm \iint_{\Omega} AM_1+BM_2+CM_3 du dv[/tex],

solo che poi non riesco a trovare gli estremi di integrazione

allego un possibile svolgimento dei due esercizi...mi pare che l'applicazione di Gauss-Green conduca ad integrali del tutto equivalenti a quelli ottenibili per calcolo diretto sul dominio

[Gabe]

Grazie mille! Ho capito dove sbagliavo!