Scritto d'esame 2012

[Nome_utente]

Viene chiesto se l'integrale converge:
[tex]\[
\int 1/(e^x^4e^y^4)\,dxdy
\][/tex]
In realtà è scritto diversamente (l'esponente della e sarebbe x^4+y^4), però le due scritture dovrebbero essere equivalenti, non riesco a scriverlo in questo modo...
Il dominio del''integrale è [tex]R^2[/tex], perciò va da [tex]-infinito[/tex] a [tex]+infinito[/tex].
Quindi dovrei spezzarlo in due parti: da [tex]-infinito[/tex] a [tex]0[/tex] e da [tex]0[/tex] a [tex]+infinito[/tex] e solo se entrambi convergono l'integrale iniziale converge giusto?
Passando in coordinate polari ottengo (rho)/[e^((rho^4)((cos(theta))^4+(sin(theta))^4))]
Come faccio a dimostrare che (cos(theta))^4+(sin(theta))^4)>=c>0 ?
(rho)/[e^((rho^4)c)] devo confrontarlo con una funzione + grande e se questa converge allora converge anche l'integrale iniziale giusto?

[ghisi]

Viene chiesto se l'integrale converge:
[tex]\[
\int 1/(e^x^4e^y^4)\,dxdy
\][/tex]
In realtà è scritto diversamente (l'esponente della e sarebbe x^4+y^4), però le due scritture dovrebbero essere equivalenti, non riesco a scriverlo in questo modo...
Il dominio del''integrale è [tex]R^2[/tex], perciò va da [tex]-infinito[/tex] a [tex]+infinito[/tex].

Ma che brutto modo di scrivere, siamo in più variabili!

Quindi dovrei spezzarlo in due parti: da [tex]-infinito[/tex] a [tex]0[/tex] e da [tex]0[/tex] a [tex]+infinito[/tex] e solo se entrambi convergono l'integrale iniziale converge giusto?

In realta' questa funzione non ha problemi al finito quindi non c'è ragione di spezzare

Passando in coordinate polari ottengo [tex](\rho)/[e^{\rho^4 ((\cos(\theta))^4+(\sin(\theta))^4}][/tex]
Come faccio a dimostrare che[tex](\cos(\theta))^4+(\sin(\theta))^4)\geq c>0 ?[/tex]

si tratta di una funzione continua, strettamente positiva, definita su un compatto quindi per Weiestrass ha minimo positivo.

[tex]\rho/[e^{\rho^4c}][/tex] devo confrontarlo con una funzione + grande e se questa converge allora converge anche l'integrale iniziale giusto?

si

[Nome_utente]

Non riesco a trovare una funzione più grande per fare il confronto che converga. Qualche suggerimento?

[ghisi]

Non riesco a trovare una funzione più grande per fare il confronto che converga. Qualche suggerimento?

Visto che l'esponenziale cresce piu' in fretta di ogni potenza... Ad esempio [tex]e^x \geq c x^{10}[/tex]