Scritto d'esame 2012

[Nome_utente]

Spero di aver postato nella sezione giusta...
[tex]f(x,y,z)=2x^2-y^2/2+z^3[/tex]
[tex]D:{x^2+y^2+z^2<=2; -1<=z<=1}[/tex]
Viene richiesto di trovare massimo e minimo di f in D.
Il dominio dovrebbe essere la porzione centrale di una sfera di raggio [tex]sqrt2[/tex] centrata nell'origine [tex](0,0,0)[/tex] tagliata dai piani [tex]z=1[/tex] e [tex]z=-1[/tex].
Azzerando il gradiente trovo che l'unico stazionario interno è [tex](0,0,0)[/tex], in tale punto la f vale 0, quindi è probabile che sia un punto di sella (vista la presenza di un cubo nella f).
Passando al bordo del domino trovo che questo è costituito da due circonferenze di raggio 1 e centro [tex](0,0,+-1)[/tex] e dalla superficie sferica racchiusa da esse.
Allora ho applicato i Moltiplicatori di Lagrange a tutta la sfera e dei punti che ho trovato ho escluso quelli aventi la z non compresa tra -1 e 1.
Fin qui i candidati a max e min sono rispettivamente [tex]4 [(+2,0,0) e (-2,0,0)][/tex] e [tex]-1 [(0,+sqrt2,0) e (0-sqrt2,0)][/tex].
Ora dovrei cercare degli ulteriori punti stazionari sia nei due "cerchi" (intesi come superfici) che sui loro bordi ("circonferenze" che sono di fatto infiniti punti di taglio tra la sfera e i due piani)?

[ghisi]

Spero di aver postato nella sezione giusta...
[tex]f(x,y,z)=2x^2-y^2/2+z^3[/tex]
[tex]D:{x^2+y^2+z^2<=2; -1<=z<=1}[/tex]
Viene richiesto di trovare massimo e minimo di f in D.
Il dominio dovrebbe essere la porzione centrale di una sfera di raggio [tex]sqrt2[/tex] centrata nell'origine [tex](0,0,0)[/tex] tagliata dai piani [tex]z=1[/tex] e [tex]z=-1[/tex].
Azzerando il gradiente trovo che l'unico stazionario interno è [tex](0,0,0)[/tex], in tale punto la f vale 0, quindi è probabile che sia un punto di sella (vista la presenza di un cubo nella f).
Passando al bordo del domino trovo che questo è costituito da due circonferenze di raggio 1 e centro [tex](0,0,+-1)[/tex] e dalla superficie sferica racchiusa da esse.
Allora ho applicato i Moltiplicatori di Lagrange a tutta la sfera e dei punti che ho trovato ho escluso quelli aventi la z non compresa tra -1 e 1.
Fin qui i candidati a max e min sono rispettivamente [tex]4 [(+2,0,0) e (-2,0,0)][/tex] e [tex]-1 [(0,+sqrt2,0) e (0-sqrt2,0)][/tex].
Ora dovrei cercare degli ulteriori punti stazionari sia nei due "cerchi" (intesi come superfici) che sui loro bordi ("circonferenze" che sono di fatto infiniti punti di taglio tra la sfera e i due piani)?

Yes

[Nome_utente]

Alla fine dopo aver studiato anche i restanti bordi e superfici di bordo ho trovato che i punti di max sono [tex](+\sqrt{2},0,0)[/tex] e [tex](-\sqrt{2},0,0)[/tex] che mi danno come massimo [tex]4[/tex]; mentre i punti di min sono [tex](0,+1,-1)[/tex] e [tex](0,-1,-1)[/tex] che mi danno come minimo [tex]-3/2[/tex].
Non avendo la soluzione di questo scritto spero che qualcuno mi dia la conferma che sono i risultati giusti.

[ghisi]

Si sono corretti