Isometrie dello spazio 1

[AntiLover]

Quando faccio la simmetria rispetto al piano xy , usando il metodo delle basi, quale sarebbe la matrice di simmetria?

[GIMUSI]

Quando faccio la simmetria rispetto al piano xy , usando il metodo delle basi, quale sarebbe la matrice di simmetria?

visto che x e y vanno in se stessi e z va in -z la matrice di simmetria è evidentemente:

[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}[/tex]

mi pare che in questo caso operare con il cambio di basi significhi calcolare:

[tex]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/tex]

[AntiLover]

non mi è chiaro perché z va in -z

[GIMUSI]

non mi è chiaro perché z va in -z

puoi vederla così...il piano xy è fisso (per definizione) quindi le prime due colonne sono determinate...trattandosi di una isometria per z hai due sole possibilità:

- (0,0,1) avresti l'identità

- (0,0,-1) che è appunto la simmetria

[AntiLover]

giusto! e quindi una volta fatto il prodotto, userò la matrice che ho trovato come matrice di simmetria negli altri punti? ps: queste isometrie mi stanno proprio antipatiche!

[GIMUSI]

giusto! e quindi una volta fatto il prodotto, userò la matrice che ho trovato come matrice di simmetria negli altri punti? ps: queste isometrie mi stanno proprio antipatiche!

sono bellissime le isometrie

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.52 “Isometrie dello spazio 1”

[AntiLover]

Scusami GIMUSI, io nel primo esercizio al punto (c) ho scritto il punto generico del piano come (3s, -2s-5t-7, 3t) ricavando la y e scrivendo tutto in funzione delle variabili x=s e z=t. Va bene anche in questo modo? Solo che svolgendo i calcoli non mi trovo con -21, ma con -7.

[GIMUSI]

mi pare che l'equazione parametrica del piano sia

[tex](3s, -2s-5t-7/3, 3t)[/tex]

non credo però che sia un metodo conveniente...un modo alternativo comodo per le isometrie più semplici dei piani è sostituire x, y e z con i valori traslati:

[tex]x = x^* - 3[/tex]

[tex]y = y^* + 1[/tex]

[tex]z= z^* - 5[/tex]

personalmente anche per i casi più complessi ho preferito utilizzare i trasformati di [tex]n[/tex] e di un punto [tex]P[/tex] appartenente al piano

[Angelica27]

Svolgendo i calcoli con il tuo metodo, non mi ritrovo nel primo esercizio al punto c con il valore del termine noto. A me esce d = -19.

[GIMUSI]

Svolgendo i calcoli con il tuo metodo, non mi ritrovo nel primo esercizio al punto c con il valore del termine noto. A me esce d = -19.

se lo svolgi con il semplice metodo che ho indicato sopra si ottiene:

[tex]2(x-3)+3(y+1)+5(z-5)+7=0[/tex]

da cui:

[tex]2x+3y+5z-6+3-25+7=0[/tex]

[tex]2x+3y+5z-21=0[/tex]

[Angelica27]

Prendendo un punto a caso appartenente al piano (ad es. P = (-1, 0, 1) e sommandolo al vettore di traslazione, ottengo il punto P' = (2, -1, -4). Se questo punto vado a sostituirlo nella generica equazione del piano (ax + by + cz + d = 0), ottengo d = - 19. Sarebbe giusto come procedimento?

[GIMUSI]

Prendendo un punto a caso appartenente al piano (ad es. P = (-1, 0, 1) e sommandolo al vettore di traslazione, ottengo il punto P' = (2, -1, -4). Se questo punto vado a sostituirlo nella generica equazione del piano (ax + by + cz + d = 0), ottengo d = - 19. Sarebbe giusto come procedimento?

mi pare che sia [tex]P[/tex]'[tex]= (2, -1, +4)[/tex]

[Angelica27]

Perdonami, ho visto un segno per un altro!