Simulazione scritto d'esame 5

[Neomatrix092]

Come faccio a trovare la matrice associata all'applicazione lineare nel 3° esercizio?

[EDIT]
Ho trovato il modo di calcolarla, mi viene:

3 0 0 0
6 2 0 0
0 4 1 0
0 0 2 0

giusto?

[nomeutente]

A me viene allo stesso modo. Qualcuno ci dica se è giusto

[Massimo Gobbino]

Se spiegate anche *come* vi è venuta quella matrice (scegliendo quali basi, facendo quali conti), forse sarà più facile rispondervi in maniera utile

[Neomatrix092]

La matrice io l'ho trovata nella base x^3, x^2, x, 1

L'ho calcolata partendo da un generico p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, e sostituendolo nell'espressione che definisce l'applicazione lineare. A conti fatti ottengo: 3ax^3 + (2b+6a)x^2 + (4b+c)x +2c, che passando alla matrice viene appunto quella scritta sopra.

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 5"

vd. revisione successiva

[Massimo Gobbino]

Premetto che non ho controllato nessun calcolo, sperando che altri lo facciano (e aggiungerei che sarebbe doveroso che altri collaborassero al lavoro fatto da GIMUSI per tutti). Mi limito quindi ad osservazioni "strategiche" sul modo di procedere.

(1a) Non è correttissimo parlare di "piano" per indicare un sottospazio di dim 3 di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]. Il termine più usato è "iperpiano", che indica di solito un sottospazio di dimensione n-1 in uno spazio di dimensione n. Con "piano" di solito si intende un sottospazio di dimensione 2 in uno spazio di dimensione n. Il termine più corretto in assoluto è "sottospazio affine di dimensione <tot>". Il procedimento seguito va benissimo; segnalo solo come alternativa la possibilità di minimizzare la distanza dal punto variabile della retta.

(2c) Classificare ... si può fare a diversi livelli ... il top sarebbe di ricavare tutti gli elementi geometrici, cioè in questo caso rotazione di quale angolo intorno a quale retta seguita da simmetria rispetto a quale piano.

(4a) Qui ho 3 osservazioni. Primo: con Sylvester 3-2-1 mi sembra molto più comodo, lasciando agli altri metodi al più la discussione dei casi degeneri. Secondo (importante): quando viene la somma di 2 quadrati (occhio sempre che siano di roba linearmente indipendente) *non* può essere definita positiva. Terzo: come indicato nel fascicoletto di esercizi, determinare la segnatura vuol dire, nella sua interpretazione più integralista, determinare il numero di +,-,0 (la fatica che si fa è praticamente la stessa che si fa per dire se è definita positiva/negativa).

(4c)

Concludo invitando nuovamente tutti a dare una mano a GIMUSI. Davvero volete farmi vedere solo all'esame quello che scrivete?

[GIMUSI]

(1a) Non è correttissimo parlare di "piano" per indicare un sottospazio di dim 3 di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]. Il termine più usato è "iperpiano", che indica di solito un sottospazio di dimensione n-1 in uno spazio di dimensione n. Con "piano" di solito si intende un sottospazio di dimensione 2 in uno spazio di dimensione n. Il termine più corretto in assoluto è "sottospazio affine di dimensione <tot>".

ok...è che era stato denominato così anche nel testo e mi ero permesso la licenza poetica

Il procedimento seguito va benissimo; segnalo solo come alternativa la possibilità di minimizzare la distanza dal punto variabile della retta.

proverò anche questo metodo

(3c) Classificare ... si può fare a diversi livelli ... il top sarebbe di ricavare tutti gli elementi geometrici, cioè in questo caso rotazione di quale angolo intorno a quale retta seguita da simmetria rispetto a quale piano.

non capivo se fosse richiesto...proverò a farlo

(4a) Qui ho 3 osservazioni. Primo: con Sylvester 3-2-1 mi sembra molto più comodo, lasciando agli altri metodi al più la discussione dei casi degeneri. Secondo (importante): quando viene la somma di 2 quadrati (occhio sempre che siano di roba linearmente indipendente) *non* può essere definita positiva. Terzo: come indicato nel fascicoletto di esercizi, determinare la segnatura vuol dire, nella sua interpretazione più integralista, determinare il numero di +,-,0 (la fatica che si fa è praticamente la stessa che si fa per dire se è definita positiva/negativa).

pur avendo fatto tutte le schede credo di aver preso delle cantonate ...col completamento dei quadrati mi trovo molto bene...anche se le conclusioni poi non sono state corrette...lo rivedrò appena posso e proverò a rifarlo anche con Sylvester

(4c)

temo di aver completamente frainteso l'esercizio (non è la prima volta che mi capita )...da rivedere

Concludo invitando nuovamente tutti a dare una mano a GIMUSI. Davvero volete farmi vedere solo all'esame quello che scrivete?

credo anch'io che il forum sia non pienamente sfruttato...è un'occasione unica per scambiare idee metodi e dubbi (anche banali)...sarebbe bello potersi confrontare maggiormente...ne avremmo tutti un gran beneficio

[GIMUSI]

(1a) Non è correttissimo parlare di "piano" per indicare un sottospazio di dim 3 di [tex]\mathbb{R}^4[/tex]. Il termine più usato è "iperpiano", che indica di solito un sottospazio di dimensione n-1 in uno spazio di dimensione n. Con "piano" di solito si intende un sottospazio di dimensione 2 in uno spazio di dimensione n. Il termine più corretto in assoluto è "sottospazio affine di dimensione <tot>".

ok...è che era stato denominato così anche nel testo e mi ero permesso la licenza poetica

a beh poi ci sono arrivato...l'osservazione si riferisce all'iperpiano (s.s.a. di dim=3) perpendicolare alla retta utilizzato per determinare il piede dell'altezza...mentre il "piano" (s.s.a. di dim=2) è quello da determinare...

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 5" in rev01

rispetto alla prima versione (da cestinare) sono state apportate diverse correzioni sulla base delle osservazioni formulate dal Prof. Gobbino ed in particolare:

punto (1a)
- per indicare un sottospazio di dim 3 di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] è stato utilizzato il termine più appropriato di "iperpiano" (=sottospazio di dimensione n-1 in uno spazio di dimensione n);
- il termine "piano" è riservato al sottospazio di dimensione 2 da determinare;
- la determinazione del piede e dell'altezza è stata effettuata anche minimizzando la distanza dal punto variabile della retta.

punto (2c)
- è stato corretto un errore nella classificazione mediante punti fissi (mi risulta che non ne esistano);
- la classificazione è stata sviluppata determinando tutti gli elementi geometrici che la caratterizzano.

punto (4a)
- sono stati corretti alcuni errori nella risoluzione con il metodo del completamento dei quadrati;
- è stato sviluppato anche il metodo alternativo con Sylvester che effettivamente in tal caso è molto più efficiente, rapido e chiaro;

punto (4c)
- nella precedente versione avevo travisato il testo;
- la M richiesta deve essere ortogonale quindi, essendo[tex]B_a[/tex] simmetrica, per il teorema spettrale c.n.s. perché [tex]B_a[/tex] sia diagonalizzabile all'identità è che abbia tre autovalori coincidenti [tex]\lambda=1[/tex] con [tex]MG=3[/tex];
- questa condizione è stata utilizzata per rispondere al quesito.

[Neomatrix092]

A me non è del tutto chiaro cosa è stato fatto per risolvere il punto b del quarto esercizio... cioè ho visto la soluzione di GIMUSI ma non riesco a capirla ...

[GIMUSI]

A me non è del tutto chiaro cosa è stato fatto per risolvere il punto b del quarto esercizio... cioè ho visto la soluzione di GIMUSI ma non riesco a capirla ...

la logica seguita è la seguente:

- se un prodotto scalare è definito positivo è sempre possibile individuare (con GS) una base ortonormale (rispetto allo stesso prodotto scalare; vd. fine lez. 53)

- rispetto a tale base la matrice associata al prodotto scalare è (per definizione) l'identità

quindi basta trovare una base ortonormale rispetto a [tex]B_0[/tex] e poi effettuare il cambio di base utilizzando come base i vettori individuati

se poi ho capito bene...data una [tex]f[/tex] simmetrica rispetto a [tex]B_0[/tex] la stessa base diagonalizza [tex]f[/tex] (teorema B-spettrale lez. 54)

[Neomatrix092]

A me non è del tutto chiaro cosa è stato fatto per risolvere il punto b del quarto esercizio... cioè ho visto la soluzione di GIMUSI ma non riesco a capirla ...

la logica seguita è la seguente:

- se un prodotto scalare è definito positivo è sempre possibile individuare (con GS) una base ortonormale (rispetto allo stesso prodotto scalare; vd. fine lez. 53)

- rispetto a tale base la matrice associata al prodotto scalare è (per definizione) l'identità

quindi basta trovare una base ortonormale rispetto a [tex]B_0[/tex] e poi effettuare il cambio di base utilizzando come base i vettori individuati

se poi ho capito bene...data una [tex]f[/tex] simmetrica rispetto a [tex]B_0[/tex] la stessa base diagonalizza [tex]f[/tex] (teorema B-spettrale lez. 54)

Ma nella tua soluzione non mi pare di vedere ortogonalizzazione rispetto a B0.
Io per ortogonalizzare B0 prendo i vettori colonna e applico GS e viene tutt'altra roba. Tipo a parte W1 che rimane ovviamente invariato, W2 mi viene (-1/2,1,1/2). Ho applicato GS eh, niente di che:

v2 - (<v1,v2>/<v1,v1>)*v1 con v1 che è la prima colonna e v2 che è la seconda.

Il risultato di questo conto è proprio (-1/2,1,1/2) (ovviamente da dividere per la norma)

[GIMUSI]

Ma nella tua soluzione non mi pare di vedere ortogonalizzazione rispetto a B0.
Io per ortogonalizzare B0 prendo i vettori colonna e applico GS e viene tutt'altra roba. Tipo a parte W1 che rimane ovviamente invariato, W2 mi viene (-1/2,1,1/2). Ho applicato GS eh, niente di che:

v2 - (<v1,v2>/<v1,v1>)*v1 con v1 che è la prima colonna e v2 che è la seconda.

Il risultato di questo conto è proprio (-1/2,1,1/2) (ovviamente da dividere per la norma)

se guardi meglio noterai che non è il GS "normale" ma è fatto sul prodotto scalare definito da [tex]B_0[/tex]...esattamente come fatto alla fine della lez.53

[Massimo Gobbino]

Il conto di GIMUSI l'ho capito: ha fatto GS rispetto a [tex]B_0[/tex] a partire dalla canonica. La matrice M ottenuta funziona: basta fare la verifica.

Il conto di Neomatrix092 non l'ho capito Da quale base sei partito nel fare GS? Quale matrice M hai ottenuto alla fine? Funziona?

@GIMUSI: per il (4c) dopo aver osservato che deve essere simile all'identità basta controllare la traccia

[Massimo Gobbino]

se poi ho capito bene...data una [tex]f[/tex] simmetrica rispetto a [tex]B_0[/tex] la stessa base diagonalizza [tex]f[/tex] (teorema B-spettrale lez. 54)

Adesso non esageriamo. Il teorema B-spettrale dice che esiste una base ortonormale per B che diagonalizza f. Non dice che *ogni* base ortonormale per B diagonalizza f.