Applicazione lineare

[GiacoMiche]

Se ho una applicazione lineare da R3--->R4 so già che non può essere surgettiva...ma se prendo come esempio f : r3--->r4 (x1,x2,x3, x2 per x3) e applico questa funzione alla base canonica r3 trovo 3 vettori linearmente indipendenti (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)....se ora trovo un vettore r3 che va in r4 e questo ultimo vettore è linearmente indipendente con i 3 appena detti ho dimostrato che r3--->r4 è surgettiva.....prendo (0,1,1) che va in (0,1,1,1) che è linearmente indipendente con i tre vettori in r4.....O sbaglio qualcosa da qualche parte o l'applicazione non è lineare....non capisco proprio se c'è un problema di fondo e se si quale...Aspetto aiuti!Grazie!

[GIMUSI]

Se ho una applicazione lineare da R3--->R4 so già che non può essere surgettiva...ma se prendo come esempio f : r3--->r4 (x1,x2,x3, x2 per x3) e applico questa funzione alla base canonica r3 trovo 3 vettori linearmente indipendenti (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)....se ora trovo un vettore r3 che va in r4 e questo ultimo vettore è linearmente indipendente con i 3 appena detti ho dimostrato che r3--->r4 è surgettiva.....prendo (0,1,1) che va in (0,1,1,1) che è linearmente indipendente con i tre vettori in r4.....O sbaglio qualcosa da qualche parte o l'applicazione non è lineare....non capisco proprio se c'è un problema di fondo e se si quale...Aspetto aiuti!Grazie!

di sicuro l'applicazione non è lineare

[GiacoMiche]

Eh infatti l'unica spiegazione plausibile...Comunque ora che ho capito l'errore,puoi dirmi anche se i restanti ragionamenti erano corretti?

[GIMUSI]

Eh infatti l'unica spiegazione plausibile...Comunque ora che ho capito l'errore,puoi dirmi anche se i restanti ragionamenti erano corretti?

se l'applicazione non è lineare non credo abbia proprio senso parlare di vettori linearmente indipendenti o di basi allo scopo di mostrarne la surgettività...

magari puoi costruire vettori immagine che sono una base di [tex]R^4[/tex] come nel tuo esempio...ma non credo che questo garantisca che la [tex]f[/tex] non lineare sia surgettiva...

ad esempio mi pare sia impossibile per la [tex]f[/tex] indicata andare in [tex](0,0,0,1)[/tex] o in [tex](0,1,0,1)[/tex]

[13700]

Se ho una applicazione lineare da R3--->R4 so già che non può essere surgettiva...ma se prendo come esempio f : r3--->r4 (x1,x2,x3, x2 per x3)

Mi sa che se la tua funzione prevede di moltiplicare tra loro le variabili o elevarle a potenza (o di fare cose peggiori tipo esponenziali, seni, logaritmi...) , non è lineare.

[Massimo Gobbino]

Già, prova nel tuo esempio a calcolare f(0,1,1) e f(0,2,2). Se f fosse lineare la seconda dovrebbe essere il doppio della prima, e invece ...

Quanto poi a stabilire se una funzione (non lineare) da R^3 in R^4 è surgettiva o meno, quello è un problema tutt'altro che banale in generale. Qualcosa si potrebbe arrivare a dire in un corso di Analisi 2 (ad esempio che se è differenziabile ci sono le stesse "ostruzioni dimensionali" ad iniettività e surgettività del caso lineare), ma nel corso che faremo al secondo semestre (di sole 60 ore) non ci arriveremo di certo.