Simulazione scritto d'esame 4

[Massimo Gobbino]

Ecco una nuova simulazione. Forse è un po' più facile rispetto a quanto sarebbe lecito aspettarsi in sede d'esame, ma almeno sono esercizi sull'ultima parte di programma.

[DaroB94]

1a) il punto Q ruotato di 45° intorno a P mi torna Q' =( -sqrt(2)/2 + 2 , 5*sqrt(2)/2 + 1)
1b) la retta r ruotata di 45° intorno a P mi torna 3x + 5y + 11*sqrt(2) - 11 = 0
1c) la matrice della trasformazione, che è composizione delle due simmetrie, è una rotazione di -2*alfa , dove alfa è l'angolo compreso tra le due rette (poichè esse sono incidenti), che mi torna circa 11,qualcosa gradi.
c'è il meno davanti perchè, dato che si fa la simmetria prima rispetto a r e poi rispetto all'asse y, si ottiene una rotazione oraria ( procedendo in senso orario si trova prima r e poi l'asse y).

[Bertrand Russell]

Scusate ragazzi ma come si fa l''esercizio 2.a?

[Massimo Gobbino]

Scusate ragazzi ma come si fa l''esercizio 2.a?

Anche qui inizierei un ripassino di teoria, a partire dal completamento dei quadrati ...

[Bertrand Russell]

Scusi professore mi sono riguardato le forme quadratiche ed ho preso la forma data dell esercizio ed ho eseguito il completamento dei quadrati e fino a qui c'ero arrivato anche prima solo che poi non so cosa devo fare per trovare il sottospazio...

[Massimo Gobbino]

Beh, se ti è venuta ++- non sarà ora difficile trovare un sottospazio di dimensione 2 su cui è definita positiva. Basterà imporre l'annullarsi del termine con il segno -, o no?

[Giorgio9092]

qualcuno ha fatto il terzo esercizio? come si deve impostare?

[nomeutente]

Io ho provato a mettere in riga i vettori dati facendo comparire a sinistra la matrice I. La matrice A dovrebbe essere poi fatta dai vettori comparsi a destra messi in colonna. Ho poi fatto in modo che fosse simmetrica. (b = 12)
Corretto?

[nomeutente]

Il quarto esercizio? Aiuto!

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 4"

AntiLover ha segnalato un errore nell'esercizio 4:

- nella matrice [tex]B[/tex], in posizione [tex](3,2)[/tex] e [tex](2,3)[/tex] c'è un [tex]43[/tex] e non [tex]33[/tex]

- allego l'aggiornamento in rev01 dell'esercizio 4 punti (b) e (c)

[AntiLover]

CIao GIMUSI! nell'esercizio 4 quando determino B , in posizione 3,2 e 2,3 mi trovo 43 e non 33 . poi volevo chiederti, ho difficoltà a capire esattamente dopo come procedi?applichi GS, ma non riesco a seguirti. :s grazie

[GIMUSI]

CIao GIMUSI! nell'esercizio 4 quando determino B , in posizione 3,2 e 2,3 mi trovo 43 e non 33

hai ragione...devo aver fatto 4+2 invece che 4*2

...poi volevo chiederti, ho difficoltà a capire esattamente dopo come procedi?applichi GS, ma non riesco a seguirti. :s grazie

errore a parte...il procedimento seguente conduce al risultato corretto per la B col 33...

esatto basta applicare GS (come mostrato a fine lez. 53) con la differenza che il calcolo dei prodotti scalari e delle norme si effettuta con il prodotto scalare definito da B

[GIMUSI]

CIao GIMUSI! nell'esercizio 4 quando determino B , in posizione 3,2 e 2,3 mi trovo 43 e non 33 . poi volevo chiederti, ho difficoltà a capire esattamente dopo come procedi?applichi GS, ma non riesco a seguirti. :s grazie

ho inserito l'aggiornamento dell'esercizio 4 con la matrice B corretta

[Gabe]

Ragazzi due domande, nell'esercizio 2 punto a, invece che fare con il completamento dei quadrati ho fatto con la matrice associata:

[tex]B=[/tex] [tex]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1/2 \\
1 & 1 & -3 \\
1/2 & -3 & 0
\end{pmatrix}[/tex],

applico Sylvester e vedo che ho due permanenze e una variazione, quindi non è definita positiva.
A questo punto devo trovare il sottospazio di [tex]R^3[/tex] dove è definita positiva, io ho preso [tex]W=Span\{(0, 1, 1/2), (1, 1, -3)\}[/tex], ovvero le prime due colonne della matrice B, è corretto?

Nel punto b avrei potuto utilizzare altri metodi un pò meno "a occhio" rispetto al completamento dei quadrati, per determinare la segnatura al variare di a?

[GIMUSI]

Ragazzi due domande, nell'esercizio 2 punto a, invece che fare con il completamento dei quadrati ho fatto con la matrice associata:

[tex]B=[/tex] [tex]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1/2 \\
1 & 1 & -3 \\
1/2 & -3 & 0
\end{pmatrix}[/tex],

applico Sylvester e vedo che ho due permanenze e una variazione, quindi non è definita positiva.
A questo punto devo trovare il sottospazio di [tex]R^3[/tex] dove è definita positiva, io ho preso [tex]W=Span\{(0, 1, 1/2), (1, 1, -3)\}[/tex], ovvero le prime due colonne della matrice B, è corretto?

mi pare che non abbia molto significato considerare le colonne/righe della matrice...se si vuole operare per via matriciale, Sylvester dà la certezza che esistono sottospazi di dimensione 2 sui quali la f.q. e definita positiva (n+=2; vd. esercizi teorici su prodotti scalari e thread su "forme quadratiche 1") ma non consente di determinarli; credo che, operando per via matriciale, si debbano trovare i due autovettori corrispondenti ai due autovalori positivi (calcolo molto noioso in questo caso); in conclusione per il punto (a) il metodo C.Q. mi pare molto più efficiente e percorribile

Nel punto b avrei potuto utilizzare altri metodi un pò meno "a occhio" rispetto al completamento dei quadrati, per determinare la segnatura al variare di a?

in tal caso anche con Sylvester si vede immediatamente che la forma quadratica è sempre indefinita...infatti det(1)=1>0 e det((1,-3),(-3,0))=-9<0...pertanto si hanno sempre una permanenza e una variazione indipendentemente dal valore assunto dal parametro "a"

PS inizio ad essere un po' arrugginito su certi argomenti...spero di non aver detto qualche castroneria