Applicazioni lineari 4

[GIMUSI]

allego le soluzioni del test n.31 "Applicazioni lineari 4"

[EDIT]
come segnalato da matt_93 nel n.6 la dimensione dell'intersezione tre Ker e Imm è pari a 1

[nomeutente]

Ciao! Come hai proceduto? Io ho impostato il matricione come negli es. precedenti sino a far comparire la matrice I a sinistra. Ora cambio la base mettendo come colonne i vettori della base data e poi facendo l'inversa?

[GIMUSI]

Ciao! Come hai proceduto? Io ho impostato il matricione come negli es. precedenti sino a far comparire la matrice I a sinistra. Ora cambio la base mettendo come colonne i vettori della base data e poi facendo l'inversa?

esatto...se in [tex]M[/tex] metti per colonne i vettori della nuova base ottieni la matrice che dalla nuova base "porta" alla canonica ...allora la matrice associata all'applicazione con la nuova base diventa [tex]M^-^1AM[/tex]

[nomeutente]

Le dimensioni sono il problema! Come trovo intersezione tra ker e img?

[GIMUSI]

Le dimensioni sono il problema! Come trovo intersezione tra ker e img?

in alcuni casi si individua subito...in altri l'unico modo è imporre l'uguaglianza tra la combinazione lineare delle rispettive basi...

ad esempio se [tex]v_1,v_2,v_3[/tex] sono una base della IMG e [tex]w_1,w_2[/tex] del KER...si deve risolvere il sistema (nelle incognite a,b,c,d,e):

[tex]av_1+bv_2+cv_3=dw_1+ew_2[/tex]

equivalente al sistema omogeneo:

[tex]av_1+bv_2+cv_3-dw_1-ew_2=0[/tex]

nelle soluzioni di "Sottospazi vettoriali 4" c'è lo svolgimento di alcuni esercizi fatti in questo modo

[nomeutente]

Grazie

[Massimo Gobbino]

Le dimensioni sono il problema! Come trovo intersezione tra ker e img?

Per la dimensione di un'intersezione conviene spesso passare dalla somma. Per avere anche una base, tranne nei casi immediati, c'è poca alternativa ad imporre l'uguaglianza delle combinazioni lineari.

[Bertrand Russell]

Ragazzi secondo voi va bene se faccio cosi:
M matrice associata ad f da base v1 v2 v3 ( con v1 v2 v3 intendo i vettori presenti nelle condizioni della funzione dentro le parentesi) a base w1 w2 w3 ( base data dall'esercizio).

B matrice che da v1 v2 v3 manda canonica

C matrice che da w1 w2 w3 manda a canonica

la matrice che cerco sarà: (M) (B-1) (C)

?????

[GIMUSI]

Ragazzi secondo voi va bene se faccio cosi:
M matrice associata ad f da base v1 v2 v3 ( con v1 v2 v3 intendo i vettori presenti nelle condizioni della funzione dentro le parentesi) a base w1 w2 w3 ( base data dall'esercizio).

B matrice che da v1 v2 v3 manda canonica

C matrice che da w1 w2 w3 manda a canonica

la matrice che cerco sarà: (M) (B-1) (C)

?????

direi che se [tex]M[/tex] è la matrice in base non canonica:

[tex]w_i[/tex]=[tex]Mv_i[/tex]

[tex]Bv_i[/tex]=[tex]v_i_c[/tex]

[tex]Cw_i[/tex]=[tex]w_i_c[/tex]

allora:

[tex]C^-^1w_i_c=MB^-^1v_i_c[/tex]

[tex]w_i_c=CMB^-^1v_i_c[/tex]

quindi la matrice in base canonica dovrebbe essere: [tex]CMB^-^1[/tex]

[Bertrand Russell]

Non capisco da quali basi a quali basi vanno quelle matrici... lo pottresti specificare?

[GIMUSI]

Non capisco da quali basi a quali basi vanno quelle matrici... lo pottresti specificare?

si riferiscono alle basi che avevi specificato tu...

[GIMUSI]

Non capisco da quali basi a quali basi vanno quelle matrici... lo pottresti specificare?

perdonami nell'esercizio in esame la base in partenza e arrivo è sempre la stessa...riformulo la risposta...

nell'esercizio in esame credo che la via più conveniente sia scrivere la matrice associata all'applicazione in base canonica (utilizzando le condizioni date si stabilisce "dove vanno" gli [tex]e_i[/tex] della canonica)...diciamo che sia [tex]N[/tex] questa matrice...allora:

[tex]y_e[/tex]=[tex]Nx_e[/tex]

ora bisogna scrivere la matrice di trasformazione (da non canonica a canonica) nella base data ([tex]B[/tex] ha per colonne i vettori della nuova base rispetto alla canonica):

[tex]Bx=x_e[/tex]

[tex]By=y_e[/tex]

allora:

[tex]By=NBx[/tex]

[tex]y=B^-^1NBx[/tex]

quindi la matrice in base non canonica richiesta nell'esercizio è [tex]B^-^1NB[/tex]

[Paolo]

allego le soluzioni del test n.31 "Applicazioni lineari 4"

mi potresti fare vedere i calcoli del secondo esercizio che a me non torna?

[Massimo Gobbino]

mi potresti fare vedere i calcoli del secondo esercizio che a me non torna?

Un piccolo consiglio: se a te torna diverso, dovresti provare a scrivere tu i calcoli che hai fatto e cosa hai ottenuto. In questo modo sarà più facile per tutti controllare.

[alex994]

GIMUSI il risultato del n° 6 a me mi torna
34/3 1 -26/3
0 -2 8
1 1 4