Applicazioni lineari 2/3

[Giorgio9092]

Ciao a tutti,
Ho provato a fare gli esercizi sulle applicazioni lineari ma non so come svolgerli, potreste farmi vedere un paio di esempi?
Grazie mille

[GIMUSI]

detta così è un po' generica...con le indicazioni delle lezioni da 16 a 20 dovresti riuscire a farli o almeno ad impostarli...se poi hai difficoltà su specifici passaggi chiedi pure

[e.rapuano]

Arrivato a questo punto devo vedere se ho capito: prendo ad esempio il primo esercizio di applicazioni lineari 3.
Avendo le immagini di 2 elementi dell'insieme V, ho imposto un sistema così da scoprire quali combinazioni lineari delle componenti dei vettori di partenza potessero rappresentare un'applicazione lineare.
Praticamente ho creato la matrice:
1 2 | 2 3
1 3 | 7 8
e ho fatto in modo che a sinistra delle | ci fosse la matrice identica. così a destra credo di aver trovato la matrice che rappresenta l'applicazione lineare (che esiste ed è unica perchè il sistema ha soluzione unica e perchè (1, 2) e (1,3) sono una base di R^2) riferita a base canonica in partenza e in arrivo.
A questo punto posso trovare dimensione e base di ker e immagine per questa applicazione e, passando ad "applicazioni lineari 4", potrei moltiplicare a destra e sinistra rispettivamente per M e M^(-1) per cambiare base in partenza e in arrivo. (dove M è la matrice di cambio di base che ha come colonne i vettori della nuova base).
Negli altri esercizi di "applicazioni lineari 3", poi, quando vedevo che il sistema iniziale non aveva soluzioni allora non esisteva l'applicazione lineare, mentre se c'erano infinite soluzioni allora l'applicazione esisteva ma non era unica.
Tutti questi, sono ragionamenti leciti?
Poi so che ci saranno metodi più chiari e veloci...però l'importante è che ho capito i concetti....
Aiutatemi! XD

[GIMUSI]

Arrivato a questo punto devo vedere se ho capito: prendo ad esempio il primo esercizio di applicazioni lineari 3.
Avendo le immagini di 2 elementi dell'insieme V, ho imposto un sistema così da scoprire quali combinazioni lineari delle componenti dei vettori di partenza potessero rappresentare un'applicazione lineare.
Praticamente ho creato la matrice:
1 2 | 2 3
1 3 | 7 8
e ho fatto in modo che a sinistra delle | ci fosse la matrice identica. così a destra credo di aver trovato la matrice che rappresenta l'applicazione lineare (che esiste ed è unica perchè il sistema ha soluzione unica e perchè (1, 2) e (1,3) sono una base di R^2) riferita a base canonica in partenza e in arrivo.
A questo punto posso trovare dimensione e base di ker e immagine per questa applicazione e, passando ad "applicazioni lineari 4", potrei moltiplicare a destra e sinistra rispettivamente per M e M^(-1) per cambiare base in partenza e in arrivo. (dove M è la matrice di cambio di base che ha come colonne i vettori della nuova base).

anch'io ho fatto lo stesso

Negli altri esercizi di "applicazioni lineari 3", poi, quando vedevo che il sistema iniziale non aveva soluzioni allora non esisteva l'applicazione lineare, mentre se c'erano infinite soluzioni allora l'applicazione esisteva ma non era unica.
Tutti questi, sono ragionamenti leciti?
Poi so che ci saranno metodi più chiari e veloci...però l'importante è che ho capito i concetti....
Aiutatemi! XD

mi pare corretto...e mi pare che in molti casi non sia nemmeno necessario risolvere il sistema...se i vettori dello spazio di partenza sono una base allora l'esistenza e l'unicità sono assicurati...se non sono una base ma la relazione di dipendenza tra i vettori di partenza sussiste anche per i corrispondenti vettori di arrivo si ha esistenza ma non unicità...altrimenti l'applicazione non esiste

[GIMUSI]

allego qui le soluzioni dei test n.29 "Applicazioni lineari 2" e n.30 "Applicazioni lineari 3"

AntiLover ha segnalato un errore nel numero 7 di "Applicazioni lineari 2": in posizione 1,3 al posto dello zero c'è -1

[e.rapuano]

In applicazioni lineari 3, lì dove hai messo delle linee, che volevi intendere? che non abbiamo abbastanza informazioni per rispondere o che non esiste?

[Massimo Gobbino]

mi pare corretto...e mi pare che in molti casi non sia nemmeno necessario risolvere il sistema...se i vettori dello spazio di partenza sono una base allora l'esistenza e l'unicità sono assicurati...se non sono una base ma la relazione di dipendenza tra i vettori di partenza sussiste anche per i corrispondenti vettori di arrivo si ha esistenza ma non unicità...altrimenti l'applicazione non esiste

Questo diciamolo per bene.

• Se i vettori dello spazio di partenza sono una base allora l'esistenza e l'unicità sono assicurati, qualunque cosa ci sia in arrivo, senza dover fare altro.
• se i vettori dello spazio di partenza sono linearmente indipendenti, ma non sono una base (quindi evidentemente sono troppo pochi per generare), allora c'è esistenza ma non unicità, senza dover fare altro (dimostrazione: posso completare i vettori in partenza ad una base e mandare gli elementi aggiunti dove mi pare: così non solo dimostro esistenza e non unicità, ma sono anche in grado di descrivere con opportuni parametri l'insieme di tutte le applicazioni lineari con la proprietà richiesta).
• Se i vettori dello spazio di partenza non sono linearmente indipendenti, allora vuol dire che ci sono delle relazioni di dipendenza lineare tra di essi. In tal caso prendo una qualunque relazione di dipendenza lineare, e controllo se vale anche tra i rispettivi elementi in arrivo: se non vale, allora addio, non c'è esistenza, perché ho trovato condizioni incompatibili; se vale, allora posso eliminare una qualunque condizione che coinvolga vettori coinvolti nella relazione di dipendenza lineare. In questo modo ottengo un insieme di condizioni ridotte di uno, a cui ri-applicare il procedimento fino a ricadere in uno dei casi precedenti.

Quello che non è vero è che "se non sono una base ma la relazione di dipendenza tra i vettori di partenza sussiste anche per i corrispondenti vettori di arrivo si ha esistenza ma non unicità", come dimostra l'esempio di destra nella terza riga.

Questo è il metodo veloce per stabilire esistenza ed unicità. Poi per trovare la matrice si possono fare i cambi di base: il metodo forse più veloce, se si vuole la matrice dalla canonica alla canonica, è di scrivere la matrice dell'applicazione dalla base nuova alla canonica, che è immediata, e poi cambiare base in sola partenza.

In alternativa, sia per esistenza ed unicità, sia per la matrice, c'è il metodo bovino. Scrivo la matrice dell'applicazione con i coefficienti incogniti e poi impongo tutte le condizioni date. Ottengo un sistemone non omogeneo che può avere soluzione unica, oppure non esistenza, oppure esistenza senza unicità. Penso che sia molto istruttivo risolvere almeno qualche caso con entrambi i metodi.

[GIMUSI]

In applicazioni lineari 3, lì dove hai messo delle linee, che volevi intendere? che non abbiamo abbastanza informazioni per rispondere o che non esiste?

il trattino sta per "non esiste"

[GIMUSI]

Quello che non è vero è che "se non sono una base ma la relazione di dipendenza tra i vettori di partenza sussiste anche per i corrispondenti vettori di arrivo si ha esistenza ma non unicità", come dimostra l'esempio di destra nella terza riga.

così è tutto molto più chiaro

[e.rapuano]

Ok, allora io mi trovo tutto tranne la matrice del 6°. a me esce:
0 -2 -1
0 1 0
0 0 1

[GIMUSI]

Ok, allora io mi trovo tutto tranne la matrice del 6°. a me esce:
0 -2 -1
0 1 0
0 0 1

c'è qualcosa che non va...se sommi il secondo e terzo vettore in partenza e cambi segno ottieni che: (0,1,0)-->(0,1,-2) mentre con la matrice che hai indicato risulterebbe (-2,1,0)...e anche (1,-1,-1) deve dare (1,-1,1) mentre con la matrice indicata darebbe (3,-1,-1)

[AntiLover]

Scusami GIMUSI, svolgendo il numero 7 di applicazioni lineari 2, non mi trovo con un elemento della matrice associata. in posizione 1,3 non dovrebbe esserci al posto dello zero -1?

[GIMUSI]

Scusami GIMUSI, svolgendo il numero 7 di applicazioni lineari 2, non mi trovo con un elemento della matrice associata. in posizione 1,3 non dovrebbe esserci al posto dello zero -1?

hai ragione è corretto il -1

[alex994]

scusate, ma nel primo esercizio di "Applicazioni lineari 3" mi viene
1 0 | -8 -7
0 1 | 5 5

per farlo ho adottato lo stesso sistema di e.rapuano. in cosa ho sbagliato?

[GIMUSI]

scusate, ma nel primo esercizio di "Applicazioni lineari 3" mi viene
1 0 | -8 -7
0 1 | 5 5

per farlo ho adottato lo stesso sistema di e.rapuano. in cosa ho sbagliato?

probabilmente hai messo i vettori per riga e non per colonna