polinomio di taylor

[francicko]

Mi chiedevo la seguente domanda, esistono polinomi che approssimano meglio le funzioni come sinx, cosx,[tex]e^x[/tex], ecc., dei loro rispettivi polinomi di taylor?

[Massimo Gobbino]

Domanda profonda ... prima devi definire cosa intendi con "meglio". I polinomi di Taylor sono la migliore approssimazione possibile nel senso di o piccolo, cioè se vuoi approssimare una certa f(x) con un polinomio p(x) di grado <=n in modo che il resto sia [tex]o(x^n)[/tex] per x tendente a 0, allora l'unica possibilità è il polinomio di Taylor. Se invece vuoi che il resto sia piccolo in qualche altro senso a tua scelta, allora la risposta può essere un polinomio diverso!

[francicko]

Quale potrebbe essere, ad esempio . un altro senso di scelta?

[Massimo Gobbino]

Beh, il resto vogliamo che sia "piccolo", ma cosa vuol dire che una funzione è "piccola"? Per Taylor vuol dire che è [tex]o(x^n)[/tex] in un dato punto.

Altre 2 possibilità sono:

• una funzione è piccola se il suo valore assoluto è piccolo in un dato intervallo,
• una funzione è piccola se l'integrale del suo quadrato in un dato intervallo è piccolo.

Queste sono solo due delle tantissime possibilità, ma qui si scivola da analisi 1 ad analisi 3 .