Dubbio su serie di taylor

[francicko]

Sto leggendo sul libro "che cos'è la matematica" di Courant, l'argomento riguardante la serie di taylor, e da quel poco che sono riuscito a capire, si ha che se [tex]f(x)[/tex] é una funzione derivabile, di modo che esista una successione di infinite derivate di [tex]f(x),[/tex][tex]f^1(x),.. f^3(x),...f^n(x),...[/tex] , in queste condizioni posso determinare i coefficienti, e quindi costruire la sua serie di taylor.
Adesso mi chiedevo, è possibile che una funzione possa non essere uguale alla sua serie di taylor?
Qualcuno può darmi cortesemente qualche delucidazione riguardo all'argomento, che si sta rivelando per me particolarmente ostico?
Grazie!

[CoTareg]

Penso che tutto stia nel fatto di essere continua e derivabile. Prendi ad esempio |x| : in x = 0 è continua ma non derivabile. Non puoi, quindi, scriverla (per piccoli spostamenti intorno a x = 0) come una retta.

[Massimo Gobbino]

Adesso mi chiedevo, è possibile che una funzione possa non essere uguale alla sua serie di taylor?

Assolutamente sì, è possibile. Le funzioni che sono uguali alla propria serie di Taylor, ovviamente nella zona in cui la serie stessa converge, hanno un nome: si chiamano analitiche. Ora c'è un teorema che dice che tutte le funzioni ottenute a partire dalle funzioni elementari mediante composizioni e/o operazioni algebriche sono analitiche nella zona in cui non ci sono problemi tipo denominatori che si annullano e simili.

E' chiaro quindi che le funzioni che non sono uguali alla somma della propria serie di Taylor sono comunque roba strana. L'esempio più classico è la funzione definita ponendo f(0)=0 e poi [tex]f(x)=e^{-1/x^2}[/tex] per [tex]x\neq 0[/tex]. Si può dimostrare (esercizio non troppo difficile ma nemmeno banale) che la funzione f(x) ha le derivate di ogni ordine, e tutte queste derivare sono uguali a 0 per x=0.

Pertanto la serie di Taylor di questa funzione è la serie con tutti i coefficienti nulli, la quale ovviamente converge a 0 per ogni x reale. Tuttavia f(x) non è nulla per [tex]x\neq 0[/tex]. Come si suol dire: ha tutte le derivate nulle per x=0 ... eppur si muove!

[francicko]

Grazie per la risposta, molto esaudiente!
Nel libro che sto leggendo, si dice che Newton trovò lo sviluppo del binomio [tex](1+x)^1^/^2= 1 +(1/2)x -(1/8)x^2 + (1/2^4)x^3 - .............[/tex], convergente per [tex]-1<x<1[/tex], però non ne diede una dimostrazione. Adesso so che questo sviluppo è la serie di taylor della funzione [tex](1+x)^1^/^2[/tex], con quale criterio si può stabilire che sicuramente converge ? inoltre questo sviluppo é unico, o potrebbe benissimo esistere un 'altra serie diversa da quella di taylor anch'essa chiaramente convergente per [tex]-1<x<1[/tex]e che uguagli ad sempre la funzione [tex](1+x)^1^/^2[/tex]?
Da quel poco che ho appreso é mi sono reso conto che poter trasformare una funzione qualsiasi in una espressione polinomiale porta degli indiscutibili vantaggi, sopratutto per il calcolo di alcuni limiti, e mi chiedevo è stato questo il motivo che ha ispirato taylor nella sua scoperta?

[Massimo Gobbino]

Rispondo alle nuove domande.

Unicità. Si può dimostrare che due serie di potenze che assumono lo stesso valore per tutti gli x in un intorno dell'origine hanno in realtà gli stessi coefficienti. Quindi non possono esistere due serie diverse che convergono alla stessa funzione. In realtà si può dimostrare di più: basta che le due serie assumano lo stesso valore su una successione di valori di x tendenti a 0 ed automaticamente hanno gli stessi coefficienti. La dimostrazione è un esercizio, non banalissimo, ma nemmeno difficile.

Dimostrazione della convergenza. Per dimostrare che la serie di Taylor di una funzione converge alla funzione stessa (all'interno del raggio di convergenza più eventuali estremi), cioè che la funzione è analitica, lo strumento più comodo è la formula di Taylor con resto di Lagrange. C'è proprio un esempio di questo tipo nella lezione di quest'anno su Taylor-Lagrange.

Perché trasformare funzioni in polinomi? Non ho competenze storiche per conoscere nei dettagli le motivazioni di Taylor e contemporanei. Vale però la pena osservare che oggi se pensiamo alla funzione seno o esponenziale abbiamo in mente una macchinetta che ne fornisce i valori su richiesta (una qualunque calcolatrice). Tempo fa non era così, e anche calcolare [tex]2^\sqrt{3}[/tex] era un problemone. Sostituire le funzioni con polinomi permetteva di risolvere questo problema. Anche qui consiglio la lezione di quest'anno su Taylor-Lagrange per ulteriori esempi. Piccola osservazione: l'esistenza delle calcolatrici non risolve magicamente il problema, ma semplicemente lo sposta: cosa fa la calcolatrice al suo interno quando gli si chiede [tex]2^\sqrt{3}[/tex] ?

[francicko]

Grazie per le risposte!
Mi chiedevo se ad esempio prendo la funzione elementare [tex]sinx[/tex], essendo che posso ricavare facilmente il valore
di tale funzione e delle sue successive derivate nel punto[tex]x=0[/tex] posso agevolmente costruire la relativa serie di taylor [tex]x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+.....[/tex], una volta averne stabilito la convergenza per ogni valore di [tex]x[/tex]
come faccio a verificare che tale serie così ottenuta coincide effettivamente con la funzione [tex]sinx[/tex]
per ogni valore di [tex]x[/tex]?
Mi scuso per la banalità della domanda, ma sono alle prime armi con l'argomento , e mi risulta ostico, pertanto non riesco a recepirlo in maniera chiara.
Nell'approfondire l'argomento, mi ero proposto di trovare una serie [tex]f(x)[/tex] tale che [tex]f(x)=f^2(x)[/tex], con [tex]f(o)=0[/tex] ed [tex]f^1(0)=1[/tex], se non ho commesso errori , ho ottenuto la serie [tex]x+x^3/3!+x^5/5!+x^7/7!+...[/tex], ed ho notato che si tratta di una serie estrapolata dalla serie [tex]e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+.....[/tex], che si sa essere convergente per ogni [tex]x[/tex],pertanto se non mi sbaglio dovrebbe anch'essa convergere, volevo sapere
se eventualmente coincide con qualche funzione elementare.

[Meringolo]

... ho ottenuto la serie [tex]x+x^3/3!+x^5/5!+x^7/7!+...[/tex], ed ho notato che si tratta di una serie estrapolata dalla serie [tex]e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+.....[/tex], che si sa essere convergente per ogni [tex]x[/tex],pertanto se non mi sbaglio dovrebbe anch'essa convergere, volevo sapere
se eventualmente coincide con qualche funzione elementare.

[tex]x+x^3/3!+x^5/5!+x^7/7!+... = {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}} =\sinh x=[/tex] [tex]\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]

[Massimo Gobbino]

come faccio a verificare che tale serie così ottenuta coincide effettivamente con la funzione sin x per ogni valore di x?

Taylor-Lagrange, è fatto nella lezione 53 di quest'anno

[francicko]

Professore,grazie per le risposte!
Ho consultato come da lei indicato la videolezione n.53, veramente interessante , anche per un profano in materia come me!

[francicko]

Volevo porre la seguente domanda:
per caso, é possibile dare una interpretazione geometrica alla formula di taylor?

[Massimo Gobbino]

Ops, mi era sfuggito il post. In realtà l'approssimazione del grafico mediante polinomi mi sembra più che sufficiente come motivazione ...

[francicko]

Non riesco ancora ad avere del tutto chiaro la formula di taylor.
Stamani però sviluppando mediante taylor la funzione [tex]e^x[/tex], ed ottenendo la ben nota espressione [tex]e^x=1+x+x/2+x/3!+.....x^n/n!+...[/tex], facevo le seguenti considerazioni, indicando con [tex]R[/tex] il resto, cioé la somma dei termini mancanti successivi ad [tex]x^n/n![/tex], affinchè tale espressione risulti convergente ed covenientemente prolungata rappresenti il valore di [tex]e^x[/tex] con l'approssimazione desiderata dovrà aversi la seguente condizione, necessaria e sufficiente, cioè limite di [tex]R[/tex] per [tex]n[/tex] tendente ad infinito , deve essere uguale a zero. O mi sbaglio?
Per [tex]x=1[/tex] nel caso specifico avremo [tex]e=1+1+1/2+1/3!+......+1/n!+....[/tex], se mi arresto al termine [tex]1/n![/tex] commetterò un errore [tex]R=[/tex] [tex]1/(n+1)!+1/(n+2)!+.....[/tex][tex]=[/tex][tex]1/n!(n+1)+1/n!(n+1)(n+2)+.....[/tex][tex]=[/tex] [tex](1/n!)(1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......)[/tex].
La serie fra parentesi [tex]1/(n+1)+1/(n+1)(n+2)+.....[/tex] risulta ovviamente minore della serie [tex]1/n+1/n^2+1/n^3+...[/tex] i cui termini sono in una progressione geometrica di ragione [tex]1/n[/tex], la cui somma è perciò [tex](1/n)(1/(1-1/n))[/tex] [tex]=[/tex] [tex]1/(n-1)[/tex] che tende a zero per [tex]n[/tex] tendente ad infinito, inoltre questa somma essendo minore di [tex]1/n[/tex], la quantità [tex]R[/tex] risulterà minore di [tex]1/n!n[/tex], avremo quindi le seguenti disuguaglianze :
[tex]e[/tex] [tex]>[/tex] [tex]1+1+1/2!+1/3!+...+1/n![/tex] ed

[tex]e[/tex] [tex]<[/tex] [tex]1+1+1/2!+...+!/n+1/n!n[/tex],

pertanto scelto un opportuno [tex]k[/tex] compreso tra [tex]0[/tex] ed [tex]1[/tex] potrò scrivere [tex]e=1+1+1/2+1/3!+.....+1/n!+k/n!n[/tex].

Non so se ciò che ho riportato sia del tutto esatto, in generale ci si può ricondurre sempre ad una situazione di questo tipo?

[Massimo Gobbino]

Corretto, corretto . Volendo quello che hai scritto è una specie di Taylor-Lagrange nel caso particolare.

[francicko]

Grazie per la risposta!
Il fatto che le poche considerazioni che ho sopra riportato siano corrette alimenta sempre più il mio interesse verso l'argomento.
Nel caso ad esempio della funzione [tex]sinx[/tex] che ha mediante taylor lo sviluppo [tex]x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!.....[/tex] posso riproporre un ragionamento analogo?

[francicko]

volendo si può dare una dimostrazione dello sviluppo in serie di taylor con resto di lagrange facendo uso solamente del teorema di lagrange, cioè iterando quest'ultimo?