Limiti 8, 2 colonna, ultimi due esercizi

[catarsiaffa]

Ho problemi con questi due limiti, credo che mi sfugga qualcosa!:(

lim n->+00 (2+ (1/n) )^n -2^n

lim n->+00 (2+ (1/n*2^n) )^n - 2^n

[CoTareg]

Mah, io metterei in evidenza il 2 nella parentesi, in modo da poter avere qualcosa del tipo (1 + "roba --> 0")^"qualcosa --> +00".
A questo metterei in evidenza il 2^n comune ai due termini e poi vai avanti con E-alla.

[catarsiaffa]

Arrivo a e^log{2^n * [(1+ 1/(2n))^n -1]} ma l'argomento del logaritmo è +00 * 0...

[CoTareg]

Beh, il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi... anche se io avrei lasciato il 2^n direttamente "a piano terra". Io applicherei E-alla solo al coso strano 1^+00.

[Massimo Gobbino]

anche se io avrei lasciato il 2^n direttamente "a piano terra". Io applicherei E-alla solo al coso strano 1^+00.

Saggia decisione , e linguaggio da vero "brutal mode"

[Noisemaker]

Ho problemi con questi due limiti, credo che mi sfugga qualcosa!:(

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(2+ \frac{1}{n} \right)^n -2^n[/tex]

[tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n -2^n[/tex]

1) [tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(2+ \frac{1}{n} \right)^n -2^n[/tex]

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(2+ \frac{1}{n} \right)^n -2^n=\lim_{n \to +\infty}2^n\left[\frac{ \left(2+ \frac{1}{n} \right)^n}{2^n}-1\right][/tex] [tex]=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}2^n\left[ \left( \frac{2n+1}{2n} \right)^n -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}2^n\left[ \left( 1+\frac{1}{2n} \right)^n -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}2^n\left[ \left( 1+\frac{1}{2n} \right)^{2n\cdot\frac{1}{2}} -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle \lim_{n \to +\infty}2^n\left( e^{\frac{1}{2}} -1\right)=+\infty[/tex]


2)
[tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n -2^n[/tex]

[tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n -2^n[/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\frac{\left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n}{2^n} -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(\frac{2+ \frac{1}{n\cdot2^n}}{2} \right)^n -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(\frac{ 2n\cdot2^n+1}{2n\cdot2^n} \right)^n -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(1+\frac{1}{2n\cdot2^n} \right)^n -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(1+\frac{1}{2n\cdot2^n} \right)^{2n\cdot 2^n\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}} -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[e^{\frac{1}{2\cdot2^n}} -1\right][/tex] [tex]\sim\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}=\frac{1}{2 }[/tex]

[Massimo Gobbino]

Brutalmente ci siamo, ma non è corretto "fare i limiti metà per volta", cosa che accade tutte le volte in cui ad una certa espressione viene sostituito il numero [tex]$e$[/tex], passando al limite solo in quella parte .

[Noisemaker]

Brutalmente ci siamo, ma non è corretto "fare i limiti metà per volta", cosa che accade tutte le volte in cui ad una certa espressione viene sostituito il numero [tex]$e$[/tex], passando al limite solo in quella parte .

quindi correttamente dovrei scrivere cosi?

[tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\left[\left(1+\frac{1}{2n\cdot2^n} \right)^{2n\cdot 2^n\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}} -1\right], \quad \mbox{posto} \quad 2n\cdot 2^n=t[/tex] , [tex]t \to+\infty[/tex]

[tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n \cdot \lim_{t \to+ \infty}\left[\left(1+\frac{1}{t} \right)^{t\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}} -1\right]=[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n \cdot \lim_{t \to+ \infty}\left[e^{\frac{1}{2\cdot2^n}\ln \left(1+\frac{1}{t} \right)^{t }} -1\right]=[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n \cdot \left[e^{\frac{1}{2\cdot2^n} } -1\right]=[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n \cdot \lim_{n \to+ \infty} \left[e^{\frac{1}{2\cdot2^n} } -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} 2^n\cdot\frac{1}{2\cdot2^n}=\frac{1}{2 }[/tex]

[Massimo Gobbino]

No, così stai nascondendo la sporcizia sotto il tappeto, introducendo un limite doppio che andrebbe giustificato ... La prima uguaglianza della terza riga poi è un vero orrore (rigorosamente parlando), con un limite che diventa qualcosa di dipendente da n ...

Bisogna fare "e-alla" e poi usare il limite notevole con l'esponenziale, oppure un po' di sviluppini con relativi o piccolo.

[Noisemaker]

No, così stai nascondendo la sporcizia sotto il tappeto, introducendo un limite doppio che andrebbe giustificato ... La prima uguaglianza della terza riga poi è un vero orrore (rigorosamente parlando), con un limite che diventa qualcosa di dipendente da n ...

Bisogna fare "e-alla" e poi usare il limite notevole con l'esponenziale, oppure un po' di sviluppini con relativi o piccolo.

così ci sono ancora orrori?

[tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)^n -2^n=\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)} -e^{n\ln 2}[/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[\frac{e^{n\ln \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)}}{ e^{n\ln 2}} -1 \right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ e^{n\ln \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)- n\ln 2 } -1 \right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ e^{n\left[\ln \left(2+ \frac{1}{n\cdot2^n} \right)- \ln 2\right] } -1 \right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ e^{n\left[\ln\left( \frac{2+ \frac{1}{n\cdot2^n} }{2}\right) \right]} -1\right][/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ e^{n\left[\ln\left( 1+ \frac{1}{n\cdot2^{n+1}} \right) \right]} -1\right][/tex] [tex]\stackrel{\bf(1)}{\sim}\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ n \ln\left( 1+ \frac{1}{n\cdot2^{n+1}} \right)\right][/tex] [tex]\stackrel{\bf(2)}{\sim}\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} e^{n\ln 2} \left[ n\cdot \frac{1}{n\cdot 2^{n+1}} \right]=[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \frac{ e^{n\ln 2}}{ 2^{n+1}} =[/tex] [tex]\displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \frac{ 2^{n}}{ 2^{n}\cdot 2} =\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\stackrel{\bf(1)}{\sim}: \quad \mbox{essendo}\quad \displaystyle\lim_{n \to+ \infty} n\ln\left( 1+ \frac{1}{n\cdot2^{n+1}} \right) \right]}=0[/tex]

[tex]\stackrel{\bf(2)}{\sim}: \quad \mbox{essendo}\quad \displaystyle\lim_{n \to+ \infty} \frac{1}{n\cdot2^{n+1} }=0[/tex]