Integrale improprio 1 (prima colonna, 5 riga)

[PLA]

Perché l'integrale improprio:

[tex]\int_0^\infty\frac{1}{x \log^5 x} dx[/tex]

è indeterminato?

L'ho diviso in 4 integrali per i problemi in 0,1 e +inf, col risultato che diverge a -inf... dove ho sbagliato?

[Noisemaker]

io proverei cosi....

La singolarità "peggiore" si ha in [tex]1[/tex] poichè

Se [tex]x\to0^+[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\to[/tex] converge

Se [tex]x\to +\infty[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\to[/tex] converge

Se [tex]x\to1^+[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\sim\frac{1}{(x-1)^5}\to[/tex] diverge a [tex]+\infty[/tex]

perchè quando [tex]x[/tex] si avvicina ad [tex]1[/tex] da valori più grandi la funzione è positiva;

Se [tex]x\to1^-[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\sim\frac{1}{(x-1)^5}\to[/tex] diverge a [tex]-\infty[/tex]

perchè quando [tex]x[/tex] si avvicina ad [tex]1[/tex] da valori più piccoli la funzione è negativa;

questo è sufficiente a garantire l'indeterminatezza dell'integrale improprio.

Sostanzialmente, l'integrale non converge.

[PLA]

Grazie per la risposta!

Ricontrollando i quattro limiti in cui avevo diviso l'integrale, ho trovato un errore di segno, per cui, correggendo, uno dei quattro tende a +inf mentre un altro a -inf.
Esattamente quelli che hanno a che fare con 1 in uno degli estremi.

Mi incuriosisce però come hai trattato il problema a partire dai limiti della funzione integranda... senza aver prima risolto l'integrale. Oppure, ho frainteso il tuo ragionamento?
Nel senso... a partire dal grafico della funzione integranda posso determinare a priori il comportamento dell'integrale?

[Noisemaker]

Grazie per la risposta!

Ricontrollando i quattro limiti in cui avevo diviso l'integrale, ho trovato un errore di segno, per cui, correggendo, uno dei quattro tende a +inf mentre un altro a -inf.
Esattamente quelli che hanno a che fare con 1 in uno degli estremi.

Mi incuriosisce però come hai trattato il problema a partire dai limiti della funzione integranda... senza aver prima risolto l'integrale. Oppure, ho frainteso il tuo ragionamento?
Nel senso... a partire dal grafico della funzione integranda posso determinare a priori il comportamento dell'integrale?

Be no a partire dal grafico non puoi determinare a priori il comportamento dell' integrale. L' integrale è l'area della regione di piano delimitata dall'asse delle ascisse e dal grafico della funzione integranda, quindi se il grafico sta sotto l'asse delle ascisse si definisce un area negativa , che sia finita o infinita. Inoltre
in molti casi e possibile dire se un integrale improprio converge o meno senza affrontare il problema della "faticosa" determinazione di una primitiva. Esistono infatti dei criteri di convergenza simili a quelli per le serie (anche gli integrali sono volendo delle "somme innite").in questo caso ho usato il criterio del confronto asintotico, cioè se

Due funzioni [tex]f[/tex] e [tex]g[/tex] continue positive [tex][a; b)[/tex] tali che

[tex]\displaystyle\lim_{x \to b^-}\frac{f(x)}{g(x)}=L[/tex]

se [tex]0<L<+\infty[/tex], cioè se [tex]f\sim g[/tex] quando [tex]x \to b^-[/tex], allora

[tex]\displaystyle\int_a^b f(x) dx[/tex] converge se e solo se [tex]\displaystyle\int_a^b g(x) dx[/tex]



e poichè nel nosro caso abbiamo che quando [tex]x\to1^-[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{x\ln^5x}\sim\frac{1}{(x-1)^5}[/tex]

essendo, in generale

[tex]\displaystyle\int_a^b \frac{1}{(x-b)^{\alpha}}dx=\begin{cases} \mbox{Converge }, & \mbox{se }\alpha<1 \\+\infty, & \mbox{se }\alpha>1
\end{cases}[/tex]

poi evidentemente la funzione risulta positiva per [tex]x>1[/tex] e negativa per [tex]x<1[/tex], quindi per [tex]x\to1^-[/tex] divergerà negativamente metre per [tex]x\to1^+[/tex] divergerà positivamente; l'indeterminatezza dell'integrale discende dal fatto che l'intervalo di integrazione comprende la singolarità [tex]x=1[/tex] e dunque essendo divergente positivamente da una parte e divergente negativamente dall'atra si ha una "forma di indeterminazione"

[Massimo Gobbino]

a partire dal grafico della funzione integranda posso determinare a priori il comportamento dell'integrale?

Dal grafico vedi che l'integranda tende a [tex]$+\infty$[/tex] per [tex]$x\to 1^+$[/tex] e tende a [tex]$-\infty$[/tex] per [tex]$x\to 1^-$[/tex]. Se i due integrali impropri con il problema in 1 divergono, allora divergono a [tex]$\pm\infty$[/tex] ed il globale è indeterminato per definizione.

Per stabilire il comportamento degli integrali in 1, il grafico non basta, e devi analizzare il comportamento in 1 della funzione come ha spiegato Noisemaker (ovviamente il comportamento asintotico va giustificato formalmente con un limite).