Serie parametriche 3

[Giorgio]

mi servirebbe un aiuto per una delle serie parametriche 3...
il testo dell'esercizio è questo

(1/sqrt(n))-arctan(1/(n^alfa))

non capisco quando posso considerarla una serie a termini positivi e quando no. Qualcuno di voi si è posto il mio problema?

[g.masullo]

Ciao.. Allora provo a darti una risposta sperando di non dire cavolate.

Bisogna vedere ovviamente quando l'arctg > 1/sqrt(n)

Quindi arctg(1/n^a)>1/sqrt(n)
-> arctg(1/n^a)-1/sqrt(n)>0

Ora. 1/sqrt(n) è sempre > 0 per n>0

L'arctg è positiva quando?
da 0 a pi/2

quindi 1/sqrt(n) deve essere massimo pi/2
e
0<=arctg(1/n^a)<=pi/2

Ecco.. Ora che ho scritto le prime cose che mi sono venute in mente spero che qualcuno mi corregga in quanto penso che non siano "molto" corrette

[Giorgio]

Ehi ciao... grazie della risposta
Secondo me il ragionamento che hai fatto è giusto, ma solo nel caso degli alfa negativi. Infatti in quel caso (1/sqrt(n)) tende a 0 e l'arcotangente tende a (pi/2)... quindi definitivamente

arcotangente-(1/sqrt(n))<0

... quindi nel complesso la serie non è a termini positivi ma basta che metto un meno in evidenza e la faccio diventare io.

Nel caso degli alfa positivi mi è venuta una idea stamattina a mente più fresca e riposata

usando Taylor ho che l'argomento della serie è circa (1/sqrt(n))-(1/(n^alfa))
quindi a questo punto è chiaro che la serie è definitivamente a termini positivi per alfa>1/2 e viceversa a termini negativi per 0<alfa<1/2

spero che il ragionamento sia giusto... a domani

[g.masullo]

Uhm Penso proprio che il ragionamento sia questo

A domani ! (Sei il giorgio che conosco io? O.o)

[Giorgio]

eh si, credo proprio di sì...
comunque la serie mi è riuscita
per gli alfa negativi non c'era nemmeno bisogno di sapere se i termini della serie erano positivi o no tanto non c'era la condizione necessaria

PS: domani mensa?

[g.masullo]

giusto!!

Comunque.. PS: Domani ci sta prima informatica.. si va dal Lami e poi credo mensa..

[Massimo Gobbino]

@Giorgio: sostanzialmente corretto. Talvolta è proprio Taylor che dice se una certa cosa è positiva o negativa per n grandi. Ovviamente la cosa andrebbe giustificata rigorosamente, ma brutalmente si procede proprio in quel modo.

[catarsiaffa]

Come mai la soluzione è soltanto alpha=1/2? E' per il fatto che è l'unico valore che soddisfa la condizione necessaria?

[Massimo Gobbino]

Come mai la soluzione è soltanto alpha=1/2? E' per il fatto che è l'unico valore che soddisfa la condizione necessaria?

Assolutamente no. La condizione necessaria è soddisfatta per ogni [tex]\alpha>0[/tex]. Perché?

Quale dei due termini comanda per [tex]\alpha>1/2[/tex] ? E per [tex]\alpha<1/2[/tex] ?

Cosa succede per [tex]\alpha=1/2[/tex] ? Entrano in gioco i termini successivi di Taylor ... Penso ci siano esempi analoghi nei video sulle serie parametriche di quasi tutti gli anni.

[catarsiaffa]

Assolutamente no. La condizione necessaria è soddisfatta per ogni [tex]\alpha>0[/tex]. Perché?

Ho scritto un orrore matematico, logicamente 1/sqrt(n) ->0 e arctan (1/n^a)-> se 1/n^a ->0, quindi è sufficiente che [tex]\alpha>0[/tex].

Quale dei due termini comanda per [tex]\alpha>1/2[/tex] ? E per [tex]\alpha<1/2[/tex] ?

Per [tex]\alpha>1/2[/tex]: Utilizzando il primo termine dello sviluppo di Taylor per l'arctan (1/n^a) ottengo ( 1/sqrt(n) - 1/n^a), mettendo in evidenza 1/sqrt(n) vedo che è proprio questo termine che comanda, dato che la parte fra parentesi tende ad 1. Quindi la mia serie si comporta come 1/sqrt(n) e, dato che (1/2)<1, diverge.

Per [tex]\alpha>1/2[/tex]: Utilizzando il primo termine dello sviluppo di Taylor per l'arctan (1/n^a) ottengo ( 1/sqrt(n) - 1/n^a), mettendo in evidenza 1/n^a vedo che è proprio questo termine che comanda, dato che la parte fra parentesi tende a -1. Quindi la mia serie si comporta come 1/n^a e, dato che a<1, diverge.

Cosa succede per [tex]\alpha=1/2[/tex] ? Entrano in gioco i termini successivi di Taylor ... Penso ci siano esempi analoghi nei video sulle serie parametriche di quasi tutti gli anni.

Per [tex]\alpha=1/2[/tex] utilizzo lo sviluppo di Taylor di ordine 3: 1/sqrt(n) - (1/sqrt(n) - 1/3*(sqrt (n))^3 ), da cui :

1/3*(sqrt (n))^3 si comporta come 1/(sqrt (n))^3 , e dato che 3/2 >1, la serie converge.

La ringrazio, è stato provvidenziale!