Esercizio Equaz 5 - p 27

[david]

Ho difficolta` a svolgere questo esercizio del libro Precorsi di Matem (Equaz 5 - p 27), e` il terz'ultimo:
log2(x^(1/2)) * log2(x^(1/4)) = 2^(-1)

Code: Select all

svolgim...
log2(x^(1/2)) * log2(x^(1/4)) = 2^(-1)

log2(x^(1/2)) * log2(x^(1/4)) = (1/2) log2(2)

log2(x^(1/2)) * log2(x^(1/4)) = log2(2^(1/2))

da qui in poi, come proseguo?

grazie mille

[dakron9]

non so se ho usato un metodo rigoroso, comunque il risultato (x=4, se è corretto) l'ho trovato così (sperando di aver ragionato correttamente, e in caso contrario vi prego di dirmelo) :

1) con le regole precorsistiche (cioè basta usare sempre e solo quelle) "porta fuori" 1/2 e 1/4 dai logaritmi e ottieni

(1/2) * log2(x) * (1/4) * log2(x) = 1/2

faccio un pò di conti:

(1/8 ) * [(log2(x))^2] = 1/2

[(log2(x))^2] = 4

e qui iniziano le condizioni da imporre, condizioni che alla fine portano al sistema.

2) la prima condizione è: x > 0 che va bene anche per fare la radice (infatti [(log2(x))^2] è sempre positivo in quanto è un quadrato).

una volta fatta la radice ottieni log2(x) = 2 e sia per intuito che rigorosamente, la soluzione è x = 4..

ripeto, spero di aver ragionato correttamente

edit: mi sono accorto che 4 non è l'unica soluzione... anche 1/4 è soluzione..

quando fai la radice è come se stai risolvendo y^2 = 4 e le due soluzioni sono y = 2 e y = -2 e cioè

log(x) = 2 -> x = 4

log(x) = -2 x = -4

meglio tardi che mai

[david]

Grazie mille!

Credo ci sia solo un piccolo typo alla fine:
log2(x) = -2 x = 1/4 invece di log(x) = -2 x = -4 ...altrimenti non si soddisferebbe la condizione di esistenza del logaritmo.

Purtroppo mi ero creato un blocco mentale derivato da questo:
loga(x) loga(y) = nulla di furbo
...in effetti non c'entra niente, ma la cosa mi aveva bloccato


Buona serata e grazie ancora dakron!