Succ. ricorrenza 2, es 8

[Blacks]

la successione è
a(n+1)= n* (an)^3
Beh... non so come fare a dimostrare che tende a 0...

coi carabinieri non mi sembra interessante...

con la monotonia credo di dover dimostrare che 0<an<1...
ma non riesco a dimostrare an<1 ... non so come trattare la "n" che rende non autonoma...

[zartom]

0<an<1/2<(1/2)^n

[catarsiaffa]

0<an<1/2<(1/2)^n

Poiché 1/2 è compreso fra 0 e 1, (1/2)^n non è maggiore di 1/2...

[CoTareg]

Potresti dimostrare che a_n è compresa tra zero e 1/n. Per i carabinieri, essa tende a zero.

[catarsiaffa]

Provo e ti faccio sapere!:D

[catarsiaffa]

Per dimostrare che 0<an<1/n ho utilizzato l'induzione in questo modo, dimmi se può andar bene:

passo base: per n=1 0<1/2<1
passo induttivo: se 0<a_n<1/n, allora 0< a_n+1 < 1/(n+1)
Applico ad a_n la relazione per passare ad a_n+1 e la applico anche a 0 ed a 1/n senza cambiare il verso delle disuguaglianze:
0 < a_n+1 < n*(1/n)^3=1/n^2

A questo punto, se dico che 1/n^2 < 1/(n+1), è fatta...Ma devo utilizzare nuovamente l'induzione???:(
Spero di essere stata chiara nello scrivere...

[Ho dimostrato per induzione che 1/n^2 < 1(n+1)...Adesso dovrei essere sistemata, giusto?]

[CoTareg]

Il problema è che n^2 > n+1 vale solo da n=2 in poi.
La dimostrazione da fare nell'induzione è che se a_n < 1/n, allora a_(n+1) < 1/n.
Estavolta n^2 >= n vale per ogni n.

[catarsiaffa]

Non so come ringraziarti....Mi sto dedicando davvero molto a questo esame, ma mi rendo conto di dovermi strutturare un po' di più su alcuni argomenti... Ho scritto ciò che non mi torna di limiti e serie nelle apposite sezioni, se ci passi ed hai voglia di rispondermi mi fai un piacere immenso! Diciamo, a buon rendere!:)

[Massimo Gobbino]

La dimostrazione da fare nell'induzione è che se a_n < 1/n, allora a_(n+1) < 1/n.

Ehm, qui aveva ragione catarsiaffa. Volendo seguire la via indicata da CoTareg, per induzione uno dovrebbe dimostrare che [tex]a_n<\displaystyle\frac{1}{n}[/tex] implica che [tex]a_{n+1}<\displaystyle\frac{1}{n+1}[/tex]. Come giustamente detto da CoTareg, il passaggio induttivo vale solo per n >= 2, quindi i casi n=1 e n=2 vanno "fatti a mano".

Ovviamente la veridicità o meno dell'affermazione dipende dal dato iniziale, che catarsiaffa si era dimenticata di indicare.

[PLA]

Il dato iniziale è a1= 1/2

Volevo un parere sulla fattibilità dell'usare il piano del rapporto a questa maniera:
[tex]i) a_n > 0[/tex] dimostrato per induzione

[tex]ii) a_n \rightarrow 0[/tex] dimostrato col rapporto.

Induzione:

[tex]Passo base:

a_1 = \frac{1}{2}

Passo induttivo:

Ipotesi:
a_n>0

Tesi:
a_{n+1} >0


a_{n+1}=n*(a_n)^3 > n*a_n > 0[/tex]

Sfruttando l'ipotesi, n (sempre positivo) moltiplica a sua volta un numero positivo e questo giustifica (a mio avviso) tutti i passaggi.

Per il secondo step, ho qualche dubbio sulla "brutalità" dell'esecuzione:

Criterio del rapporto:
[tex]\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n a_n^3}{a_n} =\lim_{n\to\infty} n a_n^2[/tex]

A questo punto posso cavarmela dicendo che il limite tende a zero per ordini di infinito?
Ovvero, n (che tende a + infinito) moltiplica una potenza, sempre positiva e comunque dipendente da n, che tende a zero più "velocemente" ?