Serie Parametriche 2

[Roccia]

Le due serie di riga 7 mi hanno dato qualche difficoltà
Le serie sono

n^2 * a^(n^2)

e

n! * a^(n^2)

sono pressochè simili però mi trovo in difficoltà dal punto di vista operativo davanti a queste serie.

[steve1991]

Allora io ho provato a fare il settimo nella prima colonna e ho usato il criterio del rapporto nelle serie. dopo un pò troverai che a^2n*a^1 e appunto a^2n converge se <1; ossia quando a^2 è minore di 1 quindi a compreso tra -1 e 1.Spero che si faccia cosi e che sia giusto... [/list]

[Noisemaker]

Le due serie di riga 7 mi hanno dato qualche difficoltà
Le serie sono

[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 a^{n^2}[/tex]

e
[tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n! a^{n^2}[/tex]

sono pressochè¨ simili però mi trovo in difficoltà  dal punto di vista operativo davanti a queste serie.

1) [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n^2 a^{n^2}[/tex]

per prima cosa verifichiamo se la condizione necessaria è verificata, calcoliamo cioè

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}n^2 a^{n^2}[/tex]

ora, ricordando che la funzione esponenziale [tex]a^x[/tex] risulta crescente se [tex]a>1 ,[/tex]mentre risulta decrescente se [tex]a<1,[/tex] nel risolvere il limite dobbiamo tenere conto della variazione della base dell'esponenziale, per stabilire appunto quando l'esponenziale risulti crescente (e quindi divergente a [tex]+\infty[/tex]), oppure decrescente (e quindi convergente a [tex]0[/tex] ).Dunque abbiamo che


[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}n^2 a^{n^2}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{se }a>1, \mbox{ la serie non converge} \\ 0, & \mbox{se }a<1, \mbox{ la serie Potrebbe convergere}
\end{cases}[/tex]

allora, nel caso in cui [tex]a<1[/tex] possiamo applicare il criterio del rapporto (osservando naturalmente che la serie è a termini positivi):

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)^2 a^{(n+1)^2} }{n^2 a^{n^2}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{(n+1)^2} }{a^{n^2}}\cdot \frac{(n+1)^2 }{n^2 }[/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2+2n+1} }{a^{n^2}}\cdot 1=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2} \cdot a^{2n}\cdot a}{a^{n^2}}[/tex]

[tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty} a^{2n}\cdot a=0<\lambda<1\to\mbox{converge}[/tex]

si conclude dunque che la serie converge, per il criterio del rapporto, per i valori di [tex]a<1[/tex]

2) [tex]\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} n! a^{n^2}[/tex]

esattamente come ne caso precedente, verifichiamo che la condizione necessaria per la convergenza sia verificata:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n! a^{n^2}=\begin{cases} +\infty, & \mbox{se }a>1, \mbox{ la serie non converge} \\ 0, & \mbox{se }a<1, \mbox{ la serie Potrebbe convergere}
\end{cases}[/tex]

allora, nel caso in cui [tex]a<1[/tex] possiamo applicare il criterio del rapporto (osservando naturalmente che la serie è a termini positivi):

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{(n+1)! a^{(n+1)^2} }{n! a^{n^2}}=\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{(n+1)^2} }{a^{n^2}}\cdot \frac{(n+1)! }{n! }[/tex] [tex]=\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2+2n+1} }{a^{n^2}}\cdot \frac{n!(n+1) }{n! } =\lim_{n \to +\infty}\frac{a^{n^2} \cdot a^{2n}\cdot a}{a^{n^2}}\cdot(n+1)[/tex]

[tex]\displaystyle=\lim_{n \to +\infty} a^{2n}\cdot a\cdot(n+1)=0<\lambda<1\to\mbox{converge}[/tex]

infatti quest'ultimo limite, grazie al criterio del rapporto per successioni (Se la successione [tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/tex] converge ad un
limite [tex]l < 1[/tex] allora la successione [tex]a_n[/tex] è strettamente decrescente e converge a zero) risuta:

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a^{2n}\cdot a\cdot(n+1)=\displaystyle a\cdot \lim_{n \to +\infty} \frac{a^{2n +2}\cdot (n+2)}{a^{2n} \cdot(n+1)}[/tex] [tex]\displaystyle=a\cdot \lim_{n \to +\infty} \frac{a^{2n }\cdot a^{2}\cdot (n+2)}{a^{2n} \cdot(n+1)}=a^3<1 \Rightarrow \mbox{il limite risulta =0}[/tex]

si conclude dunque che la serie converge, per il criterio del rapporto, per i valori di [tex]a<1[/tex]