Teorema di permanenza del segno

[Leibniz]

Scusate, volevo chiedere se fossero "giuste" le dimostrazioni del teorema di permanenza del segno. (Diciamo che la dimostrazione nel caso della successione definitivamente positiva ne sono abbastanza certo, nel caso della successione definitivamente negativa no)
1) sia an una successione convergente a L>0. Allora esiste un n0 t.c. per ogni n>=n0 an>L/2.
Dim. Sfrutto la def di limite con ε=L/2 ottenendo: |an - L|<L/2 , quindi 0<L/2<an<3L/2.

2)sia an una successione convergente a M<0; Allora esiste n0 t.c. per ogni n>n0 an<M/2.
Dim. Sfrutto la definizion3 di limite con ε=-M/2, ottenendo |an - M|<-M/2, quindi (ed è qui che credo ci sia un errore) -M/2<an<M/2.

[Massimo Gobbino]

Dim. Sfrutto la definizion3 di limite con ε=-M/2, ottenendo |an - M|<-M/2, quindi (ed è qui che credo ci sia un errore) -M/2<an<M/2.

In effetti c'è l'errore. Da

\(|a_n-M|<-\dfrac{M}{2}\)

ottieni

\(\dfrac{3M}{2}<a_n<\dfrac{M}{2}\)

da cui la negatività. L'ultima disuguaglianza non deve stupire, perché \(M\) è negativo.

Per questo motivo spesso conviene pensare al caso negativo come \(a_n\to -L\), con \(L>0\).