Limiti e cambi di variabili

[lucianocastori]

Buonasera, ho dei dubbi su questa funzione , il testo chiede di verificare la continuità. È stata risolta su YouTube da un ragazzo che ha un canale ... https://youtu.be/65OIRhM4NOU , dice che il limite esiste ed è zero .. e dimostra che la funzione è continua. Però io ho studiato il limite passando in coordinate polari a me risulta una dipendenza da theta ne ho dedotto che il limite non esiste . Tra l’altro anche WolframAlpha dice che non esiste . Quindi ne deducevo che la funzione non è continua in tutto R2 ...Cosa ne pensate ? Inoltre il Bramanti-Pagani-Salsa a pagina 105 ( dimostrazione non esistenza del limite) spiega che se vi è una dipendenza con un esempio come questo il limite non esiste.

\(f(x,y)=\dfrac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}\)

[lucianocastori]

Volevo precisare che il Bramanti-Pagani-Salsa a pagina 105 ( dimostrazione non esistenza del limite) spiega che se vi è una dipendenza con un esempio di limite come questo in coordinate polari non esiste.

[ghisi]

Volevo precisare che il Bramanti-Pagani-Salsa a pagina 105 ( dimostrazione non esistenza del limite) spiega che se vi è una dipendenza con un esempio di limite come questo in coordinate polari non esiste.

Nell'esempio sul libro c'è \(x^2\) e non \(x^3\) al numeratore, c'è una bella differenza. E infatti nel tuo caso il limite esiste (ma non si fa in polari!)

[ghisi]

Buonasera, ho dei dubbi su questa funzione , il testo chiede di verificare la continuità. È stata risolta su YouTube da un ragazzo che ha un canale ... https://youtu.be/65OIRhM4NOU , dice che il limite esiste ed è zero .. e dimostra che la funzione è continua. Però io ho studiato il limite passando in coordinate polari a me risulta una dipendenza da theta ne ho dedotto che il limite non esiste . Tra l’altro anche WolframAlpha dice che non esiste . Quindi ne deducevo che la funzione non è continua in tutto R2 ...Cosa ne pensate ? Inoltre il Bramanti-Pagani-Salsa a pagina 105 ( dimostrazione non esistenza del limite) spiega che se vi è una dipendenza con un esempio come questo il limite non esiste.
\(\Biggl\{ \frac{x^{3}y}{x^{4}+y^{2}}\) (x,y)\(\not =\)(0,0) e 0 (x,y)

Il metodo usato nel video è sostanzialmente corretto, se non che da \(2x^2y\leq x^4 + y^2 \) non si potrebbe ottenere che
\(2|x^2y|\leq x^4 + y^2 \) (ad esempio \(-100\leq 1\), ma quando si passa ai valori assoluti....), tuttavia la stima è nei fatti corretta (bastava nel video partire da \((x^2 - |y|)^2 \geq 0\)); in ogni caso la stima \(2|ab| \leq a^2 + b^2 \) è classica.

Un altro metodo (valido anche più in generale) è fare un cambio di variabili ponendo \(x^2 = w\) cosa che ti avrebbe permesso poi di usare le polari.

[lucianocastori]

Infatti, il ragionamento del video l’ho capito, non capisco perché se la condizione sufficiente per l’esistenza di un limite è studiarne il limite per Rho->0 e vedere che non Ci sia dipendenza da theta ... e questo invece mi da una dipendenza .. Ps esempi dubbi come questo ve ne sono vari ...
il mio a discorso è per questo motivo

[ghisi]

Infatti, il ragionamento del video l’ho capito, non capisco perché se la condizione sufficiente per l’esistenza di un limite è studiarne il limite per Rho->0 e vedere che non Ci sia dipendenza da theta ... e questo invece mi da una dipendenza .. Ps esempi dubbi come questo ve ne sono vari ...
il mio a discorso è per questo motivo

Gli "slogan" sono un aiuto, ma vanno usati bene. Quando usi le coordinate polari e mandi \(\rho\) a 0 tenendo fisso \(\theta\) stai facendo il limite restringendoti alle rette. Questo vuol dire che se trovi due valori di \(\theta\) per cui il limite è diverso il limite non esiste, in caso contrartio non hai provato nulla e puoi dover seguire altre strade. Vediamo alcuni esempi:

\(\dfrac{xy}{x^2 + y^2} = \cos\theta\sin\theta\)

(addirittura indipendente da \(\rho\)), quindi quando mandi \(\rho\) a 0 per valori di \(\theta\) diversi il limite è diverso. Quindi questo caso rientra nello slogan perfettamente.

\(\dfrac{x^2y}{x^4 + y^2} = \dfrac{\rho^3\cos^2\theta\sin\theta}{\rho^4\cos^4 \theta + \rho^2\sin^2\theta}\),

in tal caso quando mandi \(\rho\) a 0 a \(\theta\) fisso ottieni come limite sempre 0. Tuttavia il limite non esiste (e va mostrato mettendosi su curve diverse dalle rette).

\(\dfrac{x^3y}{x^4 + y^2} = \dfrac{\rho^4\cos^3\theta\sin\theta}{\rho^4\cos^4 \theta + \rho^2\sin^2\theta}\),

in tal caso quando mandi \(\rho\) a 0 a \(\theta\) fisso ottieni come limite sempre 0. Sembra simile al caso precedente ma in realtà è molto diverso e il limite esiste.

Negli ultimi due casi, al denominatore ci sono due potenze diverse di \(\rho\) quindi visto che \(\rho\) e \(\theta\) possono essere collegati (pensa a scrivere il grafico di una parabola in polari) non sono adatti ad essere trattati con le polari. E' il motivo per cui ti avevo suggerito un cambio variabili.

[lucianocastori]

Capisco , il mio errore che ha causato il dubbio è il fatto che a denominatore ho messo in evidenza rho2 e l’ho semplificato e mi rimaneva il sin^2 mentre il resto dipendeva da Rho

[lucianocastori]

Quindi il passaggio a coordinate polari si comporta come una condizione necessaria ma non sufficiente?
Perché a me è stato spiegato che era sufficiente !
C’è una condizione necessaria e sufficiente?

[Massimo Gobbino]

Quindi il passaggio a coordinate polari si comporta come una condizione necessaria ma non sufficiente?
Perché a me è stato spiegato che era sufficiente !
C’è una condizione necessaria e sufficiente?

Faccio fatica a capire queste affermazioni/domande. Tutti i cambi di variabili leciti, ed in particolare quello in coordinate polari, conducono a condizioni necessarie e sufficienti, se ben interpretati. Il problema sta in cosa vuol dire interpretare bene.

La classica condizione necessaria, ma non sufficiente, è (in coordinate polari) che il limite a \(\theta\) fisso non dipenda da \(\theta\). Detto meglio, se per ogni \(\theta\) fisso io so che il limite per \(\rho\to 0\) (come limite di analisi 1 in una variabile, pensando \(\theta\) come una costante) fa 14, allora non posso dedurre che il limite per \((x,y)\to(0,0)\) (come limite di analisi 2 in 2 variabili) fa 14.

Per concludere che il limite di analisi 2 fa 14, ho bisogno di qualcosa di più forte, che renda i limiti precedenti uniformi in \(\theta\), ad esempio una stima "alla carabinieri" del tipo

\(g_1(\rho)\leq f(\rho,\theta)\leq g_2(\rho)\)

dove \(f(\rho,\theta)\) è la funzione che mi è stata data, scritta in coordinate polari, e le due funzioni laterali dipendono solo da \(\rho\) e tendono a 14 per \(\rho\to 0\). Questa scrittura è necessaria e sufficiente.

Come spesso dico a lezione, Analisi 2 è Analisi 1 uniforme.

[lucianocastori]

Grazie mille professore ... chiarissimo !!! Mi riguardo quella parte di teoria e le sue lezioni sull’argomento.