Decomposizione polare

[Giacomo]

Buongiorno a tutti,

Vorrei fare una domanda.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e dotato di un prodotto scalare, \(\Omega\) \(\subseteq\) V un insieme aperto connesso e sia data una funzione F: \(\Omega\) \(\rightarrow\) Hom(V,V) continua.
Sia F(x) = V(x)\(\circ\)U(x) una decomposizione polare di F(x), con V(x) simmetrica e U(x) isometria.
É possibile dimostrare che U(x) deve essere costante su tutto il dominio oppure è falso? Cioè possono esistere punti del dominio che vedono localmente un' isometria diversa?
Oppure (mi andrebbe bene comunque) è possibile trovare una decomposizione polare con U(x) costante su tutto il dominio? (Se la F(x) fosse invertibile questa seconda domanda sarebbe equivalente alla prima, poiché la decomposizione sarebbe unica).

A livello più pratico questo corrisponderebbe a dire che gli spostamenti di un corpo sono sempre dati dalla composizione di un movimento rigido unico per tutto il corpo con una deformazione pura, che localmente può anche essere diversa da punto a punto ( se si pensa a F come la derivata di una funzione Y: \(\Omega\) \(\rightarrow\)V di classe C1 ). Se mi metto nel sistema di riferimento del corpo o se questo è ben vincolato vedo sempre una deformazione pura. Questo mi tornerebbe ma non riesco a dimostrarlo formalmente.

Grazie in Anticipo!