Ulisse Dini e Sviluppi in serie di Taylor

[maimoneg]

Chi.mo Prof. Gobbino
Quest'anno con la quarantena non vi è stato tanto modo di interloquire.
Però siccome le domande e le curiosità vengono sempre, ne ho due da sottoporLe.

1) Da qualche parte nei corsi si fa cenno al teorema di Ulisse Dini riguardante le funzioni implicite?

E la seconda è di storia dello sviluppo della matematica (Epistemologia)

2) Facendo una carrellata tra foprmule e teoremi, non so se a torto o a ragione, ho ritenuto più efficace e potente
di tutti lo svilippo in serie di Taylor.

La domanda è questa:
Cosa poteva passare in testa a Taylor quando si accorse o ipotizzò che le funzioni potevano svilupparsi in serie di potenze?
Che cosa sarà stato a dargli l'input per tirare fuori il suo potentissimo argomento?
Oppure si tratta di un argomento che andava facendosi strada nella mente di tutti i matematici?
E se si stava facendo strada, in base a quali intuizioni?

Ringraziandola anticipatamente per una Sua cortese risposta
Voglia gradire
Cordiali saluti

Giuseppe Maimone

[Massimo Gobbino]

1) Da qualche parte nei corsi si fa cenno al teorema di Ulisse Dini riguardante le funzioni implicite?

Nei corsi di Analisi 2 per matematica, dove si spiega anche che si chiama "teorema del Dini" solo a Pisa, o dove sono passati dei pisani .

Cosa poteva passare in testa a Taylor quando si accorse o ipotizzò che le funzioni potevano svilupparsi in serie di potenze?
Che cosa sarà stato a dargli l'input per tirare fuori il suo potentissimo argomento?
Oppure si tratta di un argomento che andava facendosi strada nella mente di tutti i matematici?
E se si stava facendo strada, in base a quali intuizioni?

Un minimo di storia c'è qua, con segnalazione di un po' di referenze che potrebbero aiutare ad approfondire

https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#History

[maimoneg]

All'attenzione del Prof, Gobbino
Sì, la pagina del link non fa una grinza.
L'esposizione già la conoscevo
Personalmente ho pensato a questo:
Il grafico di un P(x) di grado n, viene intersecato da una retta in n punti.
a partire dal grado n>=2 in poi, il polinomio ha carattere oscillante al crescere della sua variabile, e ciò suggerisce una certa parentela con le funzioni circolari sin(x) e cos(x) almeno per un tratto.
Tale tratto diventa più ampio al crescere di n.
Il resto è un semplice calcolo dei coefficienti.
Ma una funzione qualsiasi assomiglia ad un polinomio?
Direi di si, perchè se la si guarda da una finestrella non si capisce bene di quale curva si tratta.
Quindi approssimarla in quella finestrella (intorno) da un polinomio è lecito.
Questo è tutto ciò che mi viene in mente.
Cordialmente
Voglia gradire
Immensi saluti.
Giuseppe Maimone