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Salve, nel test d'esame in oggetto c'è il seguente quesito vero/falso:
\(e^{x^2+y^4}=1+x^2+o((x^2+y^2)^{3/2})\) per \((x,y)\rightarrow(0,0)\)

In genere svolgo questo tipo di esercizi usando la definizione di o-piccolo:
proposizione vera \(\iff \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{e^{x^2+y^4}-1-x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=0\)
e poi sviluppando con la formula di Taylor per funzioni di due variabili per vedere se il limite fa o no zero. In questo caso però lo sviluppo al secondo ordine non è sufficiente (il numeratore si annulla), e arrivare al terzo ordine mi sembra troppo laborioso per un esercizio a cui andrebbero dedicati, in media, meno di due minuti. Esiste un modo più rapido per arrivare alla soluzione?
Grazie in anticipo.

\(\displaystyle e^t=1+t+\dfrac{t^2}{2}+\ldots\)

Ponendo \(t=x^2+y^4\)

si ottiene

\(e^{x^2+y^4}=1+x^2+\) roba dal quarto grado in su.

Visto che l'o piccolo è di ordine 3, l'enunciato è vero.

Meno di 30 secondi, risolto e TeXato

In effetti è molto più semplice fatto così, ma si può sempre fare? Cioè per qualsiasi funzione \(f(x,y)\) che tende a zero per \((x,y)→(0,0)\) si può porre \(t=f(x,y)\) e rifarsi allo sviluppo dell'esponenziale in una variabile?

ord wrote:Cioè per qualsiasi funzione \(f(x,y)\) che tende a zero per \((x,y)→(0,0)\) si può porre \(t=f(x,y)\) e rifarsi allo sviluppo dell'esponenziale in una variabile?

è il modo classico di calcolare gli sviluppi per composizione, come ad analisi 1.

Capito, forse era ovvio ma non l'avevo mai visto fare con funzioni di due o più variabili. Grazie per l'aiuto.

ord wrote:Capito, forse era ovvio ma non l'avevo mai visto fare con funzioni di due o più variabili.

Questo dimostra che chiedendo si finisce pure per imparare qualcosa . Un invito a tutti ad usare di più il Forum.