Spazio soluzioni delle equazioni differenziali lineari
Posted: Monday 2 December 2024, 10:42
Buongiorno,
Avrei un dubbio sulle equazioni differenziali lineari.
Nella lezione 78 di AM1_17 si dice che una soluzione di un equazione differenziale lineare esiste finché può, cioè che se tutti i suoi coefficienti sono definiti e continui in un intervallo comune \((a,b)\) allora la soluzione esiste in tutto \((a,b)\).
La cosa che non mi è chiara è quando si dimostra che lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione pari all'ordine dell'equzione, e per fare ciò si usa il teorema di esistenza e unicità. Per usare questo teorema non bisognerebbe prima verificare che l'equazione lineare è lipschitziana in \(u(t)\) uniformemente rispetto a \(t\) in tutto \((a,b)\)? Per esempio nel caso avessimo un'equazione del tipo:
\(u'(t) = (1/t) * u(t)\)
restringendoci alle \(t\) positive, questa equazione avrebbe soluzioni definite per tutti i \(t\) positivi, in quanto \(f\) è continua, ma come facciamo a concludere che la soluzione è unica? Sbaglio o la \(f\) in questo caso non sarebbe lipschitziana in \(u(t)\) uniformemente rispetto a \(t\) in quanto il coefficiente \(1/t\) tende a più infinito per \(t\) che va a \(0\)?
Si può comunque concludere che la soluzione è unica perché ci si restringe a intervalli chiusi \([a,b]\) e data l'arbitrarietà dell'intervallo chiuso allora possiamo concludere che vale su tutto \((a,b)\)? E' giusto?
Se qualcuno mi potesse per favore chiarire questo dubbio ne sarei molto grato.
Grazie
Avrei un dubbio sulle equazioni differenziali lineari.
Nella lezione 78 di AM1_17 si dice che una soluzione di un equazione differenziale lineare esiste finché può, cioè che se tutti i suoi coefficienti sono definiti e continui in un intervallo comune \((a,b)\) allora la soluzione esiste in tutto \((a,b)\).
La cosa che non mi è chiara è quando si dimostra che lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione pari all'ordine dell'equzione, e per fare ciò si usa il teorema di esistenza e unicità. Per usare questo teorema non bisognerebbe prima verificare che l'equazione lineare è lipschitziana in \(u(t)\) uniformemente rispetto a \(t\) in tutto \((a,b)\)? Per esempio nel caso avessimo un'equazione del tipo:
\(u'(t) = (1/t) * u(t)\)
restringendoci alle \(t\) positive, questa equazione avrebbe soluzioni definite per tutti i \(t\) positivi, in quanto \(f\) è continua, ma come facciamo a concludere che la soluzione è unica? Sbaglio o la \(f\) in questo caso non sarebbe lipschitziana in \(u(t)\) uniformemente rispetto a \(t\) in quanto il coefficiente \(1/t\) tende a più infinito per \(t\) che va a \(0\)?
Si può comunque concludere che la soluzione è unica perché ci si restringe a intervalli chiusi \([a,b]\) e data l'arbitrarietà dell'intervallo chiuso allora possiamo concludere che vale su tutto \((a,b)\)? E' giusto?
Se qualcuno mi potesse per favore chiarire questo dubbio ne sarei molto grato.
Grazie