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Oggi vorrei proporre una domanda del tipo che su questo forum non ho trovato. Vorrei sapere se qualcuno sa risolvere l'equazione differenziale u"+2u'+2u=\(e^tsint\) col metodo della risonanza.
La soluzione generale dell' omogenea è\(Ae^tsint+Be^tcost\), a questo punto come posso procedere per trovare la soluzione particolare utilizzando questo metodo alternativo a quello delle variazione delle costanti o del tentativo? Grazie in anticipo per la gentile attenzione.

non conosco un "metodo della risonanza"

per casi del genere un possibile metodo consiste nel passare in \(\mathbb{C}\) in modo da avere il RHS di tipo esponenziale e poi, ottenuta facilmente la soluzione in \(\mathbb{C}\) , tornare in \(\mathbb{R}\)

allego qui lo svolgimento

Ciao GIMUSI. Ecco il metodo che dicevo sembra sfrutti gli stessi principi di quello che hai proposto

Aggiungo che nel termine noto uno dei due polinomi Q1(X) oppure Q2(x) è sempre nullo, a tal proposito se nel termine noto della differenziale compaiono seno e coseno moltiplicati tra loro si usano le formule di duplicazione sinxcosx=(1/2)sin(2x) per far comparire solo il seno in questo ipotetico caso.

GIMUSI wrote:non conosco un "metodo della risonanza"

Nemmeno io

La "risonanza" si ha quando il termine non omogeneo di un'equazione lineare risolve l'equazione omogenea associata (per una giustificazione del nome si può vedere per esempio la lezione 83 di quest'anno, o le corrispondenti del passato).

In questi casi nella ricerca per tentativi della soluzione particolare si "aggiungono le t". Penso che questo trucco sia quello che Valerio chiama "metodo della risonanza".