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Premessa: Grazie alle lezioni del professor Gobbino ho imparato il metodo di variazione delle costanti quasi alla perfezione tuttavia alla correzione dello scorso esame da me sostenuto, il mio professore mi ha sconsigliato di applicare alla cieca tale metodo, consigliandomi questo "metodo di somiglianza", in quanto meno dispendioso di calcoli e, soprattutto in sede di esame, in grado di farmi guadagnare tempo prezioso almeno per equazioni "semplici" in caso capitassero.

Così ho cominciato a cercare su internet tra dispense e materiali senza trovare un metodo concorde con un altro. Sembra strano ma è così, e ho cominciato a mettere insieme i pezzi...

[Correggetemi se sbaglio]

(*) \(\alpha y''{(x)}+\beta y'{(x)}+\gamma y(x)=f(x))\)

1. Si procede determinando la soluzione dell'equazione omogenea associata.

2. Da qui in poi per trovare una soluzione particolare analizzeremo la f(x):

• CASO 1: \(f(x)=\rho(x)\) (ovvero polinomio di grado n)
  In generale cercheremo una soluzione particolare \(\overline{y}(x)\) della stessa forma del termine noto, ovvero un polinomio di grado n.
  OSS. Se nella (*) \(\gamma=0\), dovremo cercare polinomio di grado \(n+1\).
  OSS. Se nella (*) \(\beta=\gamma=0\), dovremo cercare polinomio di grado \(n+2\).

• CASO 2: \(f(x)=\rho e^{\lambda x}\) (ovvero costante per esponenziale)
  In generale cercheremo una soluzione particolare \(\overline{y}(x)\) della forma \(ce^{\lambda x}\)
  OSS. Se non c'è soluzione di questo tipo (e ciò accade perchè \(a\lambda ^{2}+b\lambda+c=0\) ossia perchè \(e^{\lambda x}\) è soluzione dell'equazione differenziale omogenea) cercare \(\overline{y}(x)=cxe^{\lambda x}\), se nemmeno questo di tipo di soluzione esiste, cercare \(\overline{y}(x)=cx^{2}e^{\lambda x}\)

• CASO 3: \(f(x)=\rho(x) e^{\lambda x}\) (ovvero polinomio di grado n per esponenziale)
  Vale lo stesso metodo del CASO 2 ma in questo caso la costante c diventa un polinomio di grado n, quindi si avrà una soluzione particolare della forma \(\overline{y}(x)=e^{\lambda x}(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0})\)
  OSS. Se non c'è soluzione di questo tipo (e ciò accade perchè \(a\lambda ^{2}+b\lambda+c=0\) ossia perchè \(e^{\lambda x}\) è soluzione dell'equazione differenziale omogenea) cercare \(\overline{y}(x)=xe^{\lambda x}(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0})\), e così via in base alla molteplicità di \(\lambda\), cercare \(\overline{y}(x)=x^{m}e^{\lambda x}(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0})\)

• CASO 4: \(f(x)=\rho cos(\omega x)+\varrho sen(\omega x)\) (ovvero costante rho per coseno (con x per costante omega) + costante varrho per seno (con x per costante omega)
  In generale cercheremo una soluzione particolare \(\overline{y}(x)\) della forma \(c_{1}cos(\omega x)+c_{2}sen(\omega x)\)
  OSS. Anche se \(f(x)\) ha solo uno dei due addendi (seno o coseno) in generale la soluzione li ha entrambi.
  OSS. Se in (*) \(\beta =0\) può accadere che \(c_{1}cos(\omega x)+c_{2}sen(\omega x)\) sia già soluzione dell'omogenea: in tal caso, la soluzione è della forma \(x(c_{1}cos(\omega x)+c_{2}sen(\omega x))\)

• CASO 5: \(f(x)= e^{\lambda x}(\rho cos(\omega x)+\varrho sen(\omega x))\) (ovvero esponenziale per CASO 4)
  In generale cercheremo una soluzione particolare \(\overline{y}(x)\) della forma \(e^{\lambda x}(c_{1}cos(\omega x)+c_{2}sen(\omega x))\)
  OSS. Se \(z=\lambda +i\omega\) è la soluzione di \(\alpha z^{2}+\beta z+\gamma =0\), bisogna sostituire \(e^{\lambda x}\) con \(xe^{\lambda x}\).
  OSS. Se \(f(x)\) ha solo uno dei due addendi (seno o coseno) in generale la soluzione li ha entrambi.

• CASO 6: \(f(x)=\rho(x) cos(\omega x)+\varrho(x) sen(\omega x)\) (ovvero rho (polinomio di grado n) per coseno (con x per costante omega) + varrho (polinomio di grado n) per seno (con x per costante omega)

• CASO 7: \(f(x)=e^{\lambda x}(\rho(x) cos(\omega x)+\varrho(x) sen(\omega x))\) (ovvero esponenziale per CASO 6)

• CASO EXTRA: \(f(x)=f_1{(x)}+f_2{(x)}\) (ovvero somma di due funzioni dei tipi precedenti)

EDIT. Non ho messo i relativi esempi perchè mi rendo conto sia già un papiro. In caso sono sempre disponibile ad aggiungerli successivamente. Il CASO 6 e il CASO 7 non mi sono chiari e chiedo delucidazioni. Tutto ciò che ho scritto è da prendere con le pinze in quanto non sia altro che un breve riassunto di ciò che ho trovato fin'ora.

Ciao,

sostanzialmente quello che si prospetta è un elenco di possibili candidati (ottimali, a dir la verità) per trovare una soluzione particolare da affiancare all'omogenea, ma il tutto si limita a un piccolo elenco di funzioni semplici. Per questo si tratta di un non-metodo o, come ha spiegato il professore a lezione, di indicazioni nel cercare una soluzione sostanzialmente quasi alla cieca. La migliore conferma è sempre quella di provare quel che suggerisce l'ispirazione / le indicazioni di codesto metodo e poi fare la verifica, che convalida la strada seguita. La proprietà extra discende dalla struttura di spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione lineare.

Ciao e grazie per la risposta,

anche se il mio dubbio non è tanto nella natura del metodo in quanto tale, ma per lo più riguarda come comportarsi nei diversi casi. Anche perché come ci sono funzioni semplici ce ne sono altre meno semplici (ovviamente nulla di esagerato altrimenti cambierei metodo), per non parlare poi dei metodi per trovare la soluzione particolare, che differiscono da caso a caso...

Nonostante sia un non-metodo, non è che ci sono delle regole o delle formule da seguire? Potrebbero essere quelle che tu chiami "indicazioni nel cercare una soluzione sostanzialmente quasi alla cieca"? In caso potresti illustrarmele brevemente? Perché tra le varie fonti penso di essermi fatto un'idea sbagliata di questo metodo, ovvero quella di una lista di funzioni semplici alla quale bisognava applicare diverse strategie...