Differenza infinitesima?
Posted: Saturday 16 July 2016, 10:22
Ciao a tutti! Sono alle prese con il primo esercizio della scheda "Equazioni differenziali - Studio qualitativo 12" e non riesco a rispondere alla domanda f). Il quesito è il seguente, consideriamo l'equazione differenziale
\(u'=t \cdot u \cdot \arctan(t-u^{2})\)
chiamando \(u_{\alpha}\) e \(u_{\beta}\) le soluzioni del problema di Cauchy tali che \(u_{\alpha}(0)=\alpha\) e \(u_{\beta}(0)=\beta\) con \(0 < \beta < \alpha\) si deve dimostrare o confutare l'affermazione secondo cui
\(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} \big[u_{\alpha}(t) - u_{\beta}(t)\big] = 0\)
All'inizio pensavo fosse vero, ma non sono riuscito a dimostrarlo quindi potrebbe anche essere falso, ad ogni modo la mia idea era quella di provare a far vedere per prima cosa che la differenza tra \(u(t)\) e \(\sqrt(t)\) è infinitesima, ma anche in questo caso per ora non ho avuto successo. Qualche idea?
\(u'=t \cdot u \cdot \arctan(t-u^{2})\)
chiamando \(u_{\alpha}\) e \(u_{\beta}\) le soluzioni del problema di Cauchy tali che \(u_{\alpha}(0)=\alpha\) e \(u_{\beta}(0)=\beta\) con \(0 < \beta < \alpha\) si deve dimostrare o confutare l'affermazione secondo cui
\(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} \big[u_{\alpha}(t) - u_{\beta}(t)\big] = 0\)
All'inizio pensavo fosse vero, ma non sono riuscito a dimostrarlo quindi potrebbe anche essere falso, ad ogni modo la mia idea era quella di provare a far vedere per prima cosa che la differenza tra \(u(t)\) e \(\sqrt(t)\) è infinitesima, ma anche in questo caso per ora non ho avuto successo. Qualche idea?
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