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\(u''-2u'+2u=e^t \sin t\)

La soluzione generale dell'equazione omogenea associata è \(u(t)=a e^t \cos t + b e^t \sin t\)

Se volessi fare un tentativo col metodo dell'indovino, quale sarebbe il tentativo giusto da fare? Sarebbe forse \(a t e^t (b t \sin t + c t \cos t)\)?

Beh, per sapere se un tentativo è giusto .. basta provare!

Mi sembra però che ci sia un po' troppa roba ... ad esempio quella costante fuori che senso ha? Finirebbe solo per moltiplicare quelle dentro!

Se il termine noto di un'eq. diff è \(e^t\) il tentativo da fare con il metodo dell'indovino sarebbe u(t)=\(a*e^t\) con a incognita. Se invece il termine noto è sint o cost allora si prova con u(t)= a*sint + b*cost. Forse avrei dovuto usare un altro nome per i coefficienti del tentativo in quanto a e b erano già stati chiamati quelli della soluzione generale dell'omogenea associata.
Nell' equazione ho al termine noto \(e^t\)*sint e ho quindi moltiplicato tra di loro i due tentativi dei singoli casi.

in alternativa ai metodi spiegati in AM1-15 lez.77-78, allego uno svolgimento per determinare la (una) soluzione particolare risolvendo l'equazione sui complessi

Grazie molto interessante questo metodo di svolgimento.

Ho provato anche io a risolvere l'equazione differenziale applicando i metodi descritti negli appunti del professore. Dopo calcoli bovini sono arrivato alla stessa soluzione trovata da Gimusi sui complessi.

Federico.M wrote:Ho provato anche io a risolvere l'equazione differenziale applicando i metodi descritti negli appunti del professore. Dopo calcoli bovini sono arrivato alla stessa soluzione trovata da Gimusi sui complessi.

Grazie per aver condiviso anche quest'altro metodo !

Per la solita equazione differenziale oltre al tentavivo giusto dell'indovino e lo svolgimento sui numeri complessi ho provato anche come esercizio quello della variazione delle costanti. Ho cercato UNA soluzione speciale della non omogenea del tipo \(u(t)= a(t)\cdot e^t \sin t+b(t)\cdot e^t \cos t\) con a(t) e b(t) incognite. Facendo i vari calcoli ho trovato che la soluzione speciale della non omogenea è

\(u(t)=(e^t\cdot \sin t)/2-(t/2)\cdot e^t\cdot \cos t\)

Tuttavia il termine \((e^t\cdot \sin t)/2\) è di troppo. Ho sbagliato qualche conto strada facendo oppure è proprio l'aver imposto in partenza una soluzione del tipo \(u(t)= a(t)\cdot e^t \sin t+b(t)\cdot e^t \cos t\) con a(t) e b(t) incognite che è sbagliato ?

Ho risolto anche io il problema con il metodo delle variazioni delle costanti e sono giunto anche io al tuo stesso risultato. Tuttavia non credo che abbiamo commesso degli errori, perché il termine in questione, che tu dici essere di troppo, sparisce nel momento in cui vai a sommare la soluzione generale dell'equazione omogenea associata con la soluzione particolare ottenuta.
In altre parole, una costante + 1/2 è ancora una costante.

eh già è proprio un termine dell'omogenea

Grazie 1000 per l'aiuto e la pazienza!